Упр.188 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$|x-3|^{3x^2-10x+3}=1$$;
   б) $$x^{\frac{5}{4}-2\cos(3x)}=x^{\frac{1}{4}}$$;
   в) $$|x-2|^{10x^2-3x-1}=1$$;
   г) $$2^{|x|}=\sin(x^2)$$.

а) Рассмотрим два случая, когда степень даёт значение $$1$$:

$$|x-3|=1$$
или
$$3x^2-10x+3=0.$$

1) $$|x-3|=1$$, тогда

$$x-3=\pm 1$$
$$x=2,\; x=4.$$

2) Решим квадратное уравнение:

$$3x^2-10x+3=0$$
$$D=100-36=64$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$
$$x_1=\frac13,\quad x_2=3.$$

Ответ: $$\frac13,\;2,\;3,\;4.$$

б) Так как $$x^{\frac14}$$ определено при $$x\ge 0$$, а равенство степеней удобно рассмотреть через показатель:

$$x^{\frac54-2\cos 3x}=x^{\frac14}$$
$$x^{1-2\cos 3x}=1.$$

При $$x=1$$ получаем верное равенство. Если $$x\ne 1$$ и $$x>0$$, то должно быть

$$1-2\cos 3x=0,$$
$$\cos 3x=\frac12.$$

Отсюда

$$3x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb N_0,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: $$1,\;\pm \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in \mathbb N_0.$$

в) Аналогично, степень равна $$1$$, если

$$|x-2|=1$$
или
$$10x^2-3x-1=0.$$

1) $$|x-2|=1$$, значит

$$x-2=\pm 1$$
$$x=1,\; x=3.$$

2) Решим квадратное уравнение:

$$10x^2-3x-1=0$$
$$D=9+40=49$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 7}{20}$$
$$x_1=-\frac15,\quad x_2=\frac12.$$

Ответ: $$-\frac15,\;\frac12,\;1,\;3.$$

г) Левая часть всегда не меньше $$1$$:

$$2^{|x|}\ge 1.$$

Правая часть не превосходит $$1$$:

$$\sin(x^2)\le 1.$$

Чтобы было равенство, нужно одновременно

$$2^{|x|}=1 \quad \text{и} \quad \sin(x^2)=1.$$

Из первого равенства получаем $$x=0$$. Но тогда

$$\sin(0)=0\ne 1.$$

Следовательно, решений нет.

Ответ: корней нет.