Упр.187 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=5;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=7,\\ xy=9;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=6,\\ x-y=12;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}xy=64,\\ x-y+\sqrt{xy}=20.\end{cases}$$
а) Обозначим $$\sqrt{x}=a,\quad \sqrt{y}=b.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} ab(a+b)=30,\\ a+b=5. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$a+b=5$$, значит
$$ab\cdot 5=30,\quad ab=6.$$
Тогда числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+6=0,$$
откуда
$$(t-2)(t-3)=0,\quad t=2 \text{ или } t=3.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(4,9)\ \text{или}\ (9,4).$$
б) Пусть $$\sqrt{xy}=t.$$ Тогда из первого уравнения
$$x+y-t=7.$$
Так как $$xy=9,$$ то $$t=\sqrt{9}=3.$$ Получаем
$$x+y=10.$$
Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$u^2-10u+9=0,$$
откуда
$$(u-1)(u-9)=0,\quad u=1 \text{ или } u=9.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(1,9)\ \text{или}\ (9,1).$$
в) Обозначим $$\sqrt{x}=a,\quad \sqrt{y}=b.$$ Тогда
$$\begin{cases} a+b=6,\\ a^2-b^2=12. \end{cases}$$
Но $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ значит
$$(a-b)\cdot 6=12,\quad a-b=2.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} a+b=6,\\ a-b=2. \end{cases}$$
Отсюда $$a=4,\ b=2,$$ значит
$$x=16,\quad y=4.$$
г) Пусть $$\sqrt{xy}=t.$$ Тогда из второго уравнения
$$x-y+t=20.$$
Так как $$xy=64,$$ то $$t=8.$$ Получаем
$$x-y=12.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} x-y=12,\\ xy=64. \end{cases}$$
Подставим $$y=x-12$$:
$$x(x-12)=64,$$
$$x^2-12x-64=0.$$
$$D=12^2+4\cdot 64=400,$$
$$x=\frac{12\pm 20}{2}.$$
Получаем $$x=16$$ или $$x=-4.$$ Тогда
$$y=4 \text{ или } y=-16.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(16,4)\ \text{или}\ (-4,-16).$$
Ответ: а) $$(4,9),\ (9,4)$$; б) $$(1,9),\ (9,1)$$; в) $$(16,4)$$; г) $$(16,4),\ (-4,-16)$$.
