Упр.187 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x+\left(\sqrt{5-\sqrt{24}}\right)^x=10$$;
   б) $$3^x+4^x=25$$;
   в) $$\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=4$$;
   г) $$\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=4^x$$.

а) Обозначим $$y=\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x.$$ Тогда

$$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x+\left(\sqrt{5-\sqrt{24}}\right)^x=10$$

можно переписать так:

$$y+\frac{1}{y}=10.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$y^2-10y+1=0.$$

$$D=10^2-4\cdot 1\cdot 1=96,$$

$$y=\frac{10\pm\sqrt{96}}{2}=\frac{10\pm 4\sqrt{6}}{2}=5\pm 2\sqrt{6}.$$

Так как

$$\sqrt{5+\sqrt{24}}\cdot \sqrt{5-\sqrt{24}}=1,$$

то

$$\sqrt{5-\sqrt{24}}=\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^{-1}.$$

Следовательно,

$$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x=5+\sqrt{24} \quad \text{или} \quad \left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x=5-\sqrt{24}.$$

Но

$$5+\sqrt{24}=\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^2,\qquad 5-\sqrt{24}=\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^{-2}.$$

Значит,

$$x=2 \quad \text{или} \quad x=-2.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$3^x+4^x=25.$$

Функция $$3^x+4^x$$ строго возрастает на $$\mathbb{R}$$, поэтому уравнение может иметь не более одного решения. Проверим $$x=2$$:

$$3^2+4^2=9+16=25.$$

Следовательно, $$x=2.$$

в) Обозначим

$$y=(2+\sqrt{3})^x.$$

Тогда

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=4$$

перепишется как

$$y+\frac{1}{y}=4.$$

Получаем:

$$y^2-4y+1=0.$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 1=12,$$

$$y=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}.$$

Так как

$$2-\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{-1},$$

то

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

г) Рассмотрим уравнение

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=4^x.$$

Перенесём одно слагаемое:

$$4^x-\left(2+\sqrt{3}\right)^x=\left(2-\sqrt{3}\right)^x.$$

Левая часть как функция $$x$$ возрастает, а правая убывает, значит, уравнение может иметь не более одного решения. Проверим $$x=1$$:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)=4=4^1.$$

Следовательно, $$x=1.$$

Ответ

а) $$x=-2,\ 2$$; б) $$x=2$$; в) $$x=-1,\ 1$$; г) $$x=1$$.