Упр.186 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений: а) $$\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=4,\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=8,\\\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=15;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}3\sqrt{x}-\sqrt{y}=8,\\\sqrt{x}+2\sqrt{y}=19;\end{cases}$$ г) $$\begin{cases}\sqrt{xy}=12,\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=7.\end{cases}$$

Обозначим $$u=\sqrt{x}, \quad v=\sqrt{y}.$$ Тогда каждая система становится системой относительно $$u$$ и $$v$$.

а)

$$\begin{cases} u-v=4,\\ 2u+3v=18 \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$v=u-4.$$

Подставим во второе:

$$2u+3(u-4)=18$$

$$2u+3u-12=18$$

$$5u=30,\quad u=6.$$

Тогда

$$v=6-4=2.$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$x=u^2=36,\quad y=v^2=4.$$

б)

$$\begin{cases} u+v=8,\\ uv=15 \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$v=8-u.$$

Подставим во второе:

$$u(8-u)=15$$

$$u^2-8u+15=0$$

$$(u-3)(u-5)=0.$$

Значит, $$u=3$$ или $$u=5$$.

Тогда:

$$\begin{cases} u=3,\ v=5 \Rightarrow x=9,\ y=25,\\ u=5,\ v=3 \Rightarrow x=25,\ y=9. \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} 3u-v=8,\\ u+2v=19 \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$v=3u-8.$$

Подставим во второе:

$$u+2(3u-8)=19$$

$$u+6u-16=19$$

$$7u=35,\quad u=5.$$

Тогда

$$v=3\cdot 5-8=7.$$

Следовательно,

$$x=25,\quad y=49.$$

г)

$$\begin{cases} uv=12,\\ u+v=7 \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$v=7-u.$$

Подставим в первое:

$$u(7-u)=12$$

$$u^2-7u+12=0$$

$$(u-3)(u-4)=0.$$

Значит, $$u=3$$ или $$u=4$$.

Тогда:

$$\begin{cases} u=3,\ v=4 \Rightarrow x=9,\ y=16,\\ u=4,\ v=3 \Rightarrow x=16,\ y=9. \end{cases}$$

Ответ

а) $$(36; 4);$$ б) $$(9; 25),\ (25; 9);$$ в) $$(25; 49);$$ г) $$(9; 16),\ (16; 9).$$