Упр.186 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

$$\begin{cases} \tg(x)\tg(y)=\dfrac{\sin(z)}{\cos(x)\cos(y)}+3,\\ \tg(y)\tg(z)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(y)\cos(z)}-5,\\ \tg(x)\tg(z)=\dfrac{\sin(y)}{\cos(x)\cos(z)}-3. \end{cases}$$

Положим

$$a=\sin x,\quad b=\sin y,\quad c=\sin z.$$

Тогда $$\cos x=\sqrt{1-a^2},\quad \cos y=\sqrt{1-b^2},\quad \cos z=\sqrt{1-c^2}$$ и система принимает вид

$$\begin{aligned} ab&=c+3\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2},\\ bc&=a-5\sqrt{1-b^2}\sqrt{1-c^2},\\ ac&=b-3\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-c^2}. \end{aligned}$$

Из первого и третьего уравнений получаем

$$ab-c=3\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)},$$

$$b-ac=3\sqrt{(1-a^2)(1-c^2)}.$$

Возведём первое из них в квадрат:

$$a^2b^2-2abc+c^2=9(1-a^2)(1-b^2),$$

то есть

$$2abc=a^2b^2+c^2-9(1-a^2)(1-b^2).$$

Аналогично из третьего уравнения:

$$b^2-a^2b^2-c^2+a^2c^2=9(1-a^2)(b^2-c^2),$$

откуда

$$(1-a^2)(b^2-c^2)=0.$$

Так как далее из системы получится $$a^2=\frac14,$$ то $$a^2\ne 1$$, значит

$$b^2=c^2,\quad b=\pm c.$$

Из второго уравнения:

$$a-bc=5\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}.$$

После преобразований получаем

$$(b^2-1)(a^2-3b^2+2)=0,$$

следовательно,

$$a^2=3b^2-2.$$

Подставим это в первое уравнение. Тогда

$$\sqrt{b^2(3b^2-2)}=\sqrt{b^2}+3\sqrt{3(1-b^2)}\sqrt{1-b^2},$$

то есть

$$8b^4-2\sqrt3\,b^3-17b^2+2\sqrt3\,b+9=0.$$

Разложение на множители даёт

$$(b^2-1)(8b^2-2\sqrt3\,b-9)=0.$$

Случай $$b^2=1$$ не подходит, поэтому решаем

$$8b^2-2\sqrt3\,b-9=0.$$

Дискриминант:

$$D=(2\sqrt3)^2+4\cdot 8\cdot 9=300.$$

Тогда

$$b=\frac{2\sqrt3\pm 10\sqrt3}{16}.$$

Подходит только

$$b=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$b^2=\frac34,\quad c^2=\frac34,\quad a^2=\frac14.$$

Значит,

$$\sin x=\pm\frac12,\quad \sin y=\pm\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin z=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

Проверка знаков в исходной системе даёт два семейства решений:

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi m,\quad y=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad z=-\frac{\pi}{3}+\pi(2p-m-n),$$

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi m,\quad y=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad z=\frac{\pi}{3}+\pi(2p-m-n+1),$$

где $$m,n,p\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\left(\frac{\pi}{6}+\pi m;\ \frac{\pi}{3}+\pi n;\ -\frac{\pi}{3}+\pi(2p-m-n)\right),$$

$$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi m;\ -\frac{\pi}{3}+\pi n;\ \frac{\pi}{3}+\pi(2p-m-n+1)\right), \quad m,n,p\in\mathbb Z.$$