Упр.185 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   $$\begin{cases} \operatorname{tg}\dfrac{x}{2}+\operatorname{tg}\dfrac{y}{2}=\dfrac{2}{\sqrt{3}},\\ \operatorname{tg}x+\operatorname{tg}y=2\sqrt{3}. \end{cases}$$

Обозначим

$$a=\tg \frac{x}{2}, \qquad b=\tg \frac{y}{2}.$$

Тогда система примет вид

$$\begin{cases} a+b=\dfrac{2}{\sqrt{3}},\\[4pt] \dfrac{2a}{1-a^2}+\dfrac{2b}{1-b^2}=2\sqrt{3}. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем

$$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}=\sqrt{3}.$$

Умножим на $$(1-a^2)(1-b^2)$$:

$$a(1-b^2)+b(1-a^2)=\sqrt{3}(1-a^2)(1-b^2).$$

Раскроем скобки и воспользуемся равенством $$a+b=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$$:

$$a+b-ab(a+b)=\sqrt{3}\bigl(1-a^2-b^2+a^2b^2\bigr).$$

Подставим $$a+b=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$$ и $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=\dfrac{4}{3}-2ab$$:

$$\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}}ab = \sqrt{3}\left(1-\frac{4}{3}+2ab+a^2b^2\right).$$

После упрощения получаем

$$3a^2b^2+8ab-3=0.$$

Обозначим $$t=ab$$. Тогда

$$3t^2+8t-3=0.$$

$$D=8^2+4\cdot 3\cdot 3=100,$$

откуда

$$t_1=\frac{-8-10}{6}=-3, \qquad t_2=\frac{-8+10}{6}=\frac13.$$

Теперь найдём $$a$$ и $$b$$ из системы

$$a+b=\frac{2}{\sqrt{3}}, \qquad ab=t.$$

1) Если $$ab=-3$$, то числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$z^2-\frac{2}{\sqrt{3}}z-3=0.$$

$$D=\frac{4}{3}+12=\frac{40}{3},$$

поэтому

$$a=\frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}, \qquad b=\frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$$

или наоборот.

2) Если $$ab=\frac13$$, то

$$z^2-\frac{2}{\sqrt{3}}z+\frac13=0.$$

$$\left(z-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=0,$$

значит

$$a=b=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Возвращаясь к переменным $$x$$ и $$y$$, получаем

$$x=2\arctg a+2\pi k,\qquad y=2\arctg b+2\pi n,\qquad k,n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, решения системы:

$$\left(2\arctg \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi k;\; 2\arctg \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi n\right),$$

$$\left(2\arctg \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi k;\; 2\arctg \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi n\right),$$

$$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k;\; \frac{\pi}{3}+2\pi n\right), \qquad k,n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\left(2\arctg \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi k;\; 2\arctg \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi n\right),$$
$$\left(2\arctg \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi k;\; 2\arctg \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi n\right),$$
$$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k;\; \frac{\pi}{3}+2\pi n\right), \qquad k,n\in\mathbb Z.$$