Упр.184 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

При каком значении $$a$$ система уравнений: а) $$\begin{cases} x-5y=7, \\ ax-y=-3; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} x+2y=a, \\ 2x+4y=5; \end{cases}$$ в) $$\begin{cases} x+ay=2, \\ 3x-2y=-6; \end{cases}$$ г) $$\begin{cases} x-y=2, \\ 2x-2y=2a \end{cases}$$ имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений?

Подробный ответ

Рассмотрим каждую систему.

а)

$$\begin{cases} x-5y=7,\\ ax-y=-3 \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=5y+7.$$
Подставим во второе:
$$a(5y+7)-y=-3,$$
$$(5a-1)y=-7a-3.$$
Если $$5a-1\neq 0$$, то система имеет единственное решение:
$$y=\frac{-7a-3}{5a-1}.$$
Если $$5a-1=0$$, то есть $$a=\frac15$$, получаем
$$0\cdot y=-7\cdot \frac15-3\neq 0,$$
значит, решений нет.

Следовательно, при $$a\neq \frac15$$ система имеет единственное решение, а при $$a=\frac15$$ не имеет решений.

б)

$$\begin{cases} x+2y=a,\\ 2x+4y=5 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$2x+4y=2a.$$
Сравнивая с вторым уравнением, получаем:

если $$2a=5$$, то уравнения совпадают и система имеет бесконечно много решений;
если $$2a\neq 5$$, то система несовместна и решений нет.

Значит, при $$a=\frac52$$ система имеет бесконечно много решений, а при $$a\neq \frac52$$ не имеет решений.

в)

$$\begin{cases} x+ay=2,\\ 3x-2y=-6 \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=2-ay.$$
Подставим во второе:
$$3(2-ay)-2y=-6,$$
$$6-3ay-2y=-6,$$
$$(-3a-2)y=-12.$$
Если $$-3a-2\neq 0$$, то система имеет единственное решение:
$$y=\frac{12}{3a+2}.$$
Если $$-3a-2=0$$, то есть $$a=-\frac23$$, получаем
$$0\cdot y=-12,$$
значит, решений нет.

Следовательно, при $$a\neq -\frac23$$ система имеет единственное решение, а при $$a=-\frac23$$ не имеет решений.

г)

$$\begin{cases} x-y=2,\\ 2x-2y=2a \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=y+2.$$
Подставим во второе:
$$2(y+2)-2y=2a,$$
$$4=2a,$$
$$a=2.$$
Если $$a=2$$, то второе уравнение является следствием первого, и система имеет бесконечно много решений. Если $$a\neq 2$$, то решений нет.