Упр.184 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений:

   а) $$\begin{cases}\sin(x)-\frac{1}{\sin(x)}=\sin(y),\\\cos(x)-\frac{1}{\cos(x)}=\cos(y);\end{cases}$$

   б) $$\begin{cases}\sin(y-3x)=2\sin^3(x),\\\cos(y-3x)=2\cos^3(x).\end{cases}$$

а) Обозначим

$$A=\sin x-\frac{1}{\sin x}, \qquad B=\cos x-\frac{1}{\cos x}.$$

Тогда система принимает вид

$$A=\sin y, \qquad B=\cos y.$$

Преобразуем уравнения:

$$\sin x-\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin^2 x-1}{\sin x}=-\frac{\cos^2 x}{\sin x},$$

$$\cos x-\frac{1}{\cos x}=\frac{\cos^2 x-1}{\cos x}=-\frac{\sin^2 x}{\cos x}.$$

Умножим первое уравнение на $$\sin x$$, второе — на $$\cos x$$:

$$-\cos^2 x=\sin y \sin x,$$

$$-\sin^2 x=\cos y \cos x.$$

Сложим их:

$$-\sin^2 x-\cos^2 x=\sin y \sin x+\cos y \cos x,$$

$$-1=\cos(x-y).$$

Значит,

$$x-y=\pi+2\pi n,\qquad y=x-\pi+2\pi n.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos y \cos x-\sin y \sin x,$$

то есть

$$\cos 2x=\cos(x+y).$$

Так как $$y=x-\pi+2\pi n,$$ то

$$x+y=2x-\pi+2\pi n,$$

и потому

$$\cos 2x=\cos(2x-\pi)= -\cos 2x.$$

Следовательно,

$$\cos 2x=0,$$

откуда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}.$$

Тогда

$$y=x-\pi+2\pi n=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}+\pi+2\pi n.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad y=\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}.$$

б) Рассмотрим систему

$$\sin(y-3x)=2\sin^3 x,\qquad \cos(y-3x)=2\cos^3 x.$$

Обозначим $$t=\tan x$$ и введём угол $$a$$ так, что $$\tan a=t^3.$$ Тогда из формулы тангенса суммы получаем

$$\tan y=\frac{\tan a+\tan 3x}{1-\tan a \tan 3x},$$

то есть

$$y=a+3x+\pi k.$$

Следовательно,

$$y-3x=a+\pi k.$$

Тогда система перепишется так:

$$\sin(a+\pi k)=2\sin^3 x,\qquad \cos(a+\pi k)=2\cos^3 x.$$

С учётом знака получаем

$$\sin a=\pm 2\sin^3 x,\qquad \cos a=\pm 2\cos^3 x.$$

Возведём в квадрат и сложим:

$$\sin^2 a+\cos^2 a=4\sin^6 x+4\cos^6 x.$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ то

$$1=4(\sin^6 x+\cos^6 x).$$

Используем формулу

$$\sin^6 x+\cos^6 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^3-3\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x+\cos^2 x)=1-3\sin^2 x\cos^2 x.$$

Тогда

$$1=4(1-3\sin^2 x\cos^2 x),$$

$$3\sin^2 x\cos^2 x=\frac{3}{4},$$

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}.$$

Но

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x,$$

значит

$$\sin^2 2x=1,$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

При таких $$x$$ имеем $$\tan x=\pm 1,$$ а значит $$\tan^3 x=\pm 1.$$ Тогда из первого уравнения системы получается

$$y=\pi+2\pi k.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad y=\pi+2\pi k.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\ \frac{5\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right),\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\ \pi+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$