Упр.183 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases} x^3+y^3=7,\\ x^3y^3=-8; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} x^2+y^4=5,\\ xy^2=2; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} x^3+y^3=9,\\ xy=2; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5,\\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=13. \end{cases}$$
а) Обозначим $$u=x^3,\quad v=y^3.$$ Тогда получаем систему
$$\begin{cases} u+v=7,\\ uv=-8. \end{cases}$$
Числа $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения
$$t^2-7t-8=0.$$
$$D=49+32=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2}.$$
Отсюда $$t_1=8,\; t_2=-1.$$ Значит,
$$x^3=8,\; y^3=-1 \quad \text{или} \quad x^3=-1,\; y^3=8.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(2,-1),\; (-1,2).$$
б) Из второго уравнения
$$xy^2=2,\quad x=\frac{2}{y^2}.$$
Подставим в первое:
$$\left(\frac{2}{y^2}\right)^2+y^4=5,$$
$$\frac{4}{y^4}+y^4=5.$$
Умножим на $$y^4$$:
$$y^8-5y^4+4=0.$$
Положим $$z=y^4$$. Тогда
$$z^2-5z+4=0,$$
$$D=25-16=9,$$
$$z_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$
Получаем $$z_1=4,\; z_2=1.$$ Значит,
$$y^4=4 \quad \text{или} \quad y^4=1.$$
Отсюда
$$y=\pm \sqrt{2},\ \pm 1.$$
Найдём $$x$$ по формуле $$x=\frac{2}{y^2}$$:
при $$y=\pm \sqrt{2}$$ имеем $$x=1$$, при $$y=\pm 1$$ имеем $$x=2.$$
Итак,
$$(x,y)=(2,1),\ (2,-1),\ (1,\sqrt{2}),\ (1,-\sqrt{2}).$$
в) Из второго уравнения
$$xy=2,\quad y=\frac{2}{x}.$$
Подставим в первое:
$$x^3+\left(\frac{2}{x}\right)^3=9,$$
$$x^3+\frac{8}{x^3}=9.$$
Умножим на $$x^3$$:
$$x^6-9x^3+8=0.$$
Положим $$u=x^3$$. Тогда
$$u^2-9u+8=0,$$
$$D=81-32=49,$$
$$u_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}.$$
Получаем $$u_1=8,\; u_2=1.$$ Значит,
$$x^3=8 \quad \text{или} \quad x^3=1,$$
то есть $$x=2$$ или $$x=1.$$ Тогда
$$y=\frac{2}{x}$$, поэтому
$$(x,y)=(2,1),\ (1,2).$$
г) Обозначим
$$u=\frac{1}{x},\quad v=\frac{1}{y}.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} u+v=5,\\ u^2+v^2=13. \end{cases}$$
Используем формулу
$$u^2+v^2=(u+v)^2-2uv.$$
Тогда
$$13=25-2uv,$$
$$2uv=12,\quad uv=6.$$
Следовательно, числа $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+6=0,$$
$$t_{1,2}=2,\ 3.$$
Значит,
$$\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right)=(2,3)\ \text{или}\ (3,2).$$
Отсюда
$$(x,y)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right),\ \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right).$$
Ответ
а) $$(-1;2),\ (2;-1)$$; б) $$(2;1),\ (2;-1),\ (1;\sqrt{2}),\ (1;-\sqrt{2})$$; в) $$(1;2),\ (2;1)$$; г) $$\left(\frac{1}{3};\frac{1}{2}\right),\ \left(\frac{1}{2};\frac{1}{3}\right).$$
