Упр.182 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}(x-y)(x^2-y^2)=45,\\x+y=5;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x^2y^3+x^3y^2=12,\\x^2y^3-x^3y^2=4;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x^2y^3=16,\\x^3y^2=2;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x^2-xy=28,\\y^2-xy=-12.\end{cases}$$
а) Из второго уравнения имеем $$x+y=5.$$ Тогда
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$
и первое уравнение можно записать так:
$$(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)=45.$$
Подставим $$x+y=5$$:
$$5(x-y)^2=45,$$
$$(x-y)^2=9,$$
$$x-y=\pm 3.$$
1) Если $$x-y=3,$$ то
$$\begin{cases} x+y=5,\\ x-y=3 \end{cases}$$
откуда $$x=4,\ y=1.$$
2) Если $$x-y=-3,$$ то
$$\begin{cases} x+y=5,\\ x-y=-3 \end{cases}$$
откуда $$x=1,\ y=4.$$
б) Сложим и вычтем уравнения:
$$\begin{cases} x^2y^3+x^3y^2=12,\\ x^2y^3-x^3y^2=4 \end{cases}$$
Тогда
$$2x^2y^3=16,\quad x^2y^3=8,$$
$$2x^3y^2=8,\quad x^3y^2=4.$$
Из отношения этих выражений получаем
$$\frac{x^2y^3}{x^3y^2}=\frac{8}{4},\qquad \frac{y}{x}=2,$$
то есть $$y=2x.$$ Подставим в $$x^2y^3=8$$:
$$x^2(2x)^3=8,$$
$$8x^5=8,$$
$$x^5=1,$$
$$x=1,\quad y=2.$$
в) Из уравнений
$$\begin{cases} x^2y^3=16,\\ x^3y^2=2 \end{cases}$$
найдём отношение:
$$\frac{x^2y^3}{x^3y^2}=\frac{16}{2},\qquad \frac{y}{x}=8,$$
то есть $$y=8x.$$ Подставим в первое уравнение:
$$x^2(8x)^3=16,$$
$$512x^5=16,$$
$$x^5=\frac{1}{32},$$
$$x=\frac12,\quad y=4.$$
г) Перепишем уравнения:
$$x^2-xy=x(x-y)=28,$$
$$y^2-xy=y(y-x)=-12.$$
Из первого уравнения:
$$x(x-y)=28.$$
Из второго:
$$y(y-x)=-12,\qquad y(x-y)=12.$$
Тогда
$$\frac{x}{y}=\frac{28}{12}=\frac73,$$
значит, $$x=\frac73y.$$ Подставим в $$x(x-y)=28$$:
$$\frac73y\left(\frac73y-y\right)=28,$$
$$\frac73y\cdot \frac43y=28,$$
$$\frac{28}{9}y^2=28,$$
$$y^2=9,$$
$$y=\pm 3.$$
Тогда $$x=\frac73y,$$ откуда $$x=7$$ при $$y=3$$ и $$x=-7$$ при $$y=-3.$$
Ответ
а) $$(1;4),\ (4;1);$$ б) $$(1;2);$$ в) $$(\tfrac12;4);$$ г) $$(-7;-3),\ (7;3).$$
