Упр.182 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$0 < x < \frac{\pi}{2}$$, то $$\cos(\sin(x)) > \sin(\cos(x))$$.

Рассмотрим функцию $$f(x)=x-\sin x.$$

Тогда

$$f'(x)=1-\cos x.$$

При $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\cos x<1,$$ значит $$f'(x)>0.$$ Следовательно, функция $$f(x)$$ возрастает на этом промежутке.

Так как $$f(0)=0,$$ то при $$x>0$$ получаем

$$x-\sin x>0,$$

то есть

$$x>\sin x.$$

Из неравенства $$x>\sin x$$ и того, что на промежутке $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ функция $$\cos t$$ убывает, следует

$$\cos x<\cos(\sin x).$$

Кроме того, из $$x>\sin x$$ и возрастания функции $$\sin t$$ на $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

$$\sin x>\sin(\sin x).$$

Но достаточно заметить, что при $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ выполняется

$$\sin x<x<\frac{\pi}{2},$$

а значит

$$\sin(\cos x)<\cos x<\cos(\sin x).$$

Следовательно,

$$\cos(\sin x)>\sin(\cos x).$$

Ответ: $$\cos(\sin x)>\sin(\cos x).$$