Упр.181 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
- а) $$\begin{cases}\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{13}{y},\\x+y=5;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x-y=1,\\x^3-y^3=7;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\frac{y}{x}=2,\\(x-1)^2+y^2=1;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x^3+y^3=35,\\x+y=5.\end{cases}$$
а) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$x+y=5,\quad y=5-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{5-x}{x}+\frac{x}{5-x}=\frac{13}{6}.$$
Умножим на $$6x(5-x)$$:
$$6(5-x)^2+6x^2=13x(5-x).$$
$$150-60x+6x^2+6x^2=65x-13x^2.$$
$$25x^2-125x+150=0,$$
$$x^2-5x+6=0.$$
$$x_1=2,\quad x_2=3.$$
Тогда
$$y_1=5-2=3,\quad y_2=5-3=2.$$
Ответ: $$(2;3),\ (3;2).$$
б) Из первого уравнения:
$$x-y=1,\quad y=x-1.$$
Во втором уравнении используем формулу разности кубов:
$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=7.$$
Подставим $$y=x-1$$:
$$x^2+x(x-1)+(x-1)^2=7.$$
$$x^2+x^2-x+x^2-2x+1=7,$$
$$3x^2-3x-6=0,$$
$$x^2-x-2=0.$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2.$$
Тогда
$$y_1=-1-1=-2,\quad y_2=2-1=1.$$
Ответ: $$(-1;-2),\ (2;1).$$
в) Из первого уравнения:
$$\frac{y}{x}=2,\quad y=2x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$(x-1)^2+y^2=1,$$
$$(x-1)^2+(2x)^2=1.$$
$$x^2-2x+1+4x^2=1,$$
$$5x^2-2x=0,$$
$$x(5x-2)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=\frac{2}{5}.$$
Но при $$x=0$$ выражение $$\frac{y}{x}$$ не имеет смысла, значит этот корень не подходит. Тогда
$$x=\frac{2}{5},\quad y=2x=\frac{4}{5}.$$
Ответ: $$\left(\frac{2}{5};\frac{4}{5}\right).$$
г) Используем формулу суммы кубов:
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$
Так как $$x+y=5,$$ то
$$5(x^2-xy+y^2)=35,$$
$$x^2-xy+y^2=7.$$
Подставим $$y=5-x$$:
$$x^2-x(5-x)+(5-x)^2=7.$$
$$x^2-5x+x^2+25-10x+x^2=7,$$
$$3x^2-15x+18=0,$$
$$x^2-5x+6=0.$$
$$x_1=2,\quad x_2=3.$$
Тогда
$$y_1=5-2=3,\quad y_2=5-3=2.$$
Ответ: $$(2;3),\ (3;2).$$
