Упр.181 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство $$v(5-2\sin(x))?6\sin(x)-1$$.

Пусть $$y=\sin x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$\sqrt{5-2y}\ge 6y-1.$$

Так как левая часть неотрицательна, то при $$6y-1\le 0$$ неравенство выполняется автоматически. Получаем условие

$$y\le \frac16.$$

Если же $$6y-1>0,$$ можно возвести обе части в квадрат:

$$5-2y\ge (6y-1)^2,$$

$$5-2y\ge 36y^2-12y+1,$$

$$36y^2-10y-4\le 0,$$

$$18y^2-5y-2\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D= (-5)^2-4\cdot 18\cdot(-2)=25+144=169,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 13}{36}.$$

Отсюда

$$y_1=-\frac29,\qquad y_2=\frac12.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$-\frac29\le y\le \frac12.$$

С учётом условия $$y\le \frac16$$ получаем

$$-\frac29\le y\le \frac16.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем

$$-\frac29\le \sin x\le \frac16.$$

Следовательно, решение неравенства:

$$x\in\left[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$\left[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$