Упр.180 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенство $$\sin\left(\frac{4\pi}{3}\cos(\pi x)\right)\geq\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
Рассмотрим неравенство
$$\sin\left(\frac{4\pi}{3}\cos \pi x\right)\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$
Так как
$$\sin t\ge \frac{\sqrt3}{2} \iff \frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
то
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{4\pi}{3}\cos \pi x\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
Делим на $$\frac{\pi}{3}$$:
$$1+6n\le 4\cos \pi x\le 2+6n,$$
$$\frac14+\frac{3n}{2}\le \cos \pi x\le \frac12+\frac{3n}{2}.$$
Так как $$-1\le \cos \pi x\le 1,$$ возможны только значения $$n=-1,0,1.$$
Рассмотрим их по отдельности.
При $$n=-1$$ получаем
$$-\frac54\le \cos \pi x\le -1,$$
то есть $$\cos \pi x=-1.$$ Тогда
$$\pi x=\pi+2\pi k,\quad x=1+2k,\quad k\in\mathbb Z.$$
При $$n=0$$ имеем
$$\frac14\le \cos \pi x\le \frac12.$$
Для косинуса это даёт
$$\arccos\frac12\le \pi x\le \arccos\frac14+2\pi k$$
в стандартной записи решения:
$$\frac{1}{\pi}\arccos\frac12+2k\le x\le \frac{1}{\pi}\arccos\frac14+2k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Так как $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},$$ получаем
$$\frac13+2k\le x\le \frac{1}{\pi}\arccos\frac14+2k.$$
При $$n=1$$ получаем
$$\frac74\le \cos \pi x\le \frac52,$$
что невозможно, так как $$\cos \pi x\le 1.$$
Следовательно, решение состоит из двух частей:
$$x\in \left[\frac13+2n,\;\frac{1}{\pi}\arccos\frac14+2n\right]\cup\{1+2n\},\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
$$\left[\frac13+2n,\;\frac{1}{\pi}\arccos\frac14+2n\right]\cup\{1+2n\},\quad n\in\mathbb Z.$$
