Упр.18 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Сравните числа: а) $$\frac{4}{\lg\frac{1}{2}}$$ и $$\frac{7}{\lg\frac{1}{2}}$$; б) $$\sqrt{5}+2$$ и $$\sqrt{17}$$; в) $$\log_{3}7$$ и $$\log_{7}3$$; г) $$\sqrt{7}+3$$ и $$\sqrt{31}$$.

а) Так как $$\lg\frac12<0,$$ то при делении на это число знак неравенства меняется:

$$\frac{4}{\lg\frac12}>\frac{7}{\lg\frac12}.$$

б) Сравним квадраты чисел:

$$\left(\sqrt5+2\right)^2=5+4\sqrt5+4.$$

Так как $$\sqrt5>2,$$ то

$$5+4\sqrt5+4>5+8+4=17,$$

значит,

$$\sqrt5+2>\sqrt{17}.$$

в) Основание логарифма больше 1, поэтому функция $$\log_3 x$$ возрастает. Так как $$7>3,$$ то

$$\log_3 7>\log_3 3=1.$$

Основание логарифма $$7>1,$$ значит, функция $$\log_7 x$$ тоже возрастает. Так как $$7>3,$$ то

$$\log_7 7>\log_7 3,$$

то есть

$$1>\log_7 3.$$

Следовательно,

$$\log_3 7>\log_7 3.$$

г) Сравним квадраты чисел:

$$\left(\sqrt7+3\right)^2=7+6\sqrt7+9.$$

Так как $$\sqrt7>5/2,$$ то

$$6\sqrt7>15,$$

и потому

$$7+6\sqrt7+9>7+15+9=31.$$

Значит,

$$\sqrt7+3>\sqrt{31}.$$

Ответ

а) $$\frac{4}{\lg\frac12}>\frac{7}{\lg\frac12}$$; б) $$\sqrt5+2>\sqrt{17}$$; в) $$\log_3 7>\log_7 3$$; г) $$\sqrt7+3>\sqrt{31}$$.