Упр.18 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1) Основные свойства функции $$y=\sin x$$:

• $$D(y)=\mathbb{R}, \quad E(y)=[-1;1]$$;
• функция нечётная;
• период функции: $$T=2\pi$$;
• нули функции: $$x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
• $$y>0$$ при $$x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n)$$;
• $$y<0$$ при $$x\in(-\pi+2\pi n;\,2\pi n)$$;
• возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$;
• убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$;
• $$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y(x_{\min})=-1$$;
• $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y(x_{\max})=1$$.

2) В порядке возрастания:

1. $$\sin(-1{,}2),\ \sin(0{,}3),\ \sin(1{,}1)$$, так как $$-\frac{\pi}{2}<-1{,}2<0{,}3<1{,}1<\frac{\pi}{2}$$;
2. $$\sin(4),\ \sin(3{,}6),\ \sin(2)$$, так как $$\frac{\pi}{2}<2<3{,}6<4<\frac{3\pi}{2}$$;
3. $$\sin(-0{,}9),\ \sin(0{,}4),\ \sin(1{,}4)$$, так как $$-\frac{\pi}{2}<-0{,}9<0{,}4<1{,}4<\frac{\pi}{2}$$;
4. $$\sin(4{,}3),\ \sin(2{,}9),\ \sin(1{,}9)$$, так как $$\frac{\pi}{2}<1{,}9<2{,}9<4{,}3<\frac{3\pi}{2}$$.

3) Исследуем функции:

1. $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right),\quad x\in\mathbb{R}$$
   • $$E(y)=[-1;1],\quad T=2\pi$$;
   • функция нечётная;
   • нули: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)$$;
   • возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right]$$;
   • убывает на $$\left[-\frac{5\pi}{4}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]$$;
   • $$x_{\min}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad y(x_{\min})=-1$$;
   • $$x_{\max}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad y(x_{\max})=1$$.
2. $$y=\sin\frac{x}{3},\quad x\in\mathbb{R}$$
   • $$E(y)=[-1;1],\quad T=6\pi$$;
   • функция нечётная;
   • нули: $$x=3\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in(6\pi n;\,3\pi+6\pi n)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in(-3\pi+6\pi n;\,6\pi n)$$;
   • возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{2}+6\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+6\pi n\right]$$;
   • убывает на $$\left[\frac{3\pi}{2}+6\pi n;\,\frac{9\pi}{2}+6\pi n\right]$$;
   • $$x_{\min}=-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\quad y(x_{\min})=-1$$;
   • $$x_{\max}=\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\quad y(x_{\max})=1$$.
3. $$y=1+1{,}5\sin x,\quad x\in\mathbb{R}$$
   • $$E(y)=[-0{,}5;2{,}5],\quad T=2\pi$$;
   • $$y(0)=1$$;
   • нули: $$\sin x=-\frac{2}{3},\quad x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{2}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(-\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n;\,\pi+\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n\right)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(-\pi+\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n;\,-\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n\right)$$;
   • возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$;
   • убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$;
   • $$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y(x_{\min})=-0{,}5$$;
   • $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y(x_{\max})=2{,}5$$.
4. $$y=\sin 2x,\quad x\in\mathbb{R}$$
   • $$E(y)=[-1;1],\quad T=\pi$$;
   • функция нечётная;
   • нули: $$x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi+\pi n)$$;
   • возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right]$$;
   • убывает на $$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right]$$;
   • $$x_{\min}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad y(x_{\min})=-1$$;
   • $$x_{\max}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad y(x_{\max})=1$$.