Упр.18 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Докажите, что если натуральное число $$a$$ не является полным квадратом, то $$\sqrt{a}$$ — иррациональное число.
Предположим противное: пусть $$\sqrt{a}$$ — рациональное число.
Тогда возможны два случая.
Если $$\sqrt{a}$$ — натуральное число, то существует такое $$n \in \mathbb{N}$$, что $$\sqrt{a}=n$$. Тогда
$$a=(\sqrt{a})^2=n^2,$$
то есть $$a$$ является полным квадратом. Это противоречит условию.
Если $$\sqrt{a}$$ — несократимая дробь, то
$$\sqrt{a}=\frac{p}{q},$$
где $$p$$ и $$q$$ — взаимно простые натуральные числа, $$q \ne 1$$. Тогда
$$a=\left(\frac{p}{q}\right)^2=\frac{p^2}{q^2}.$$
Но число $$a$$ — натуральное, значит, дробь $$\frac{p^2}{q^2}$$ должна быть целым числом. Это возможно только при $$q=1$$, что противоречит тому, что $$\frac{p}{q}$$ — несократимая дробь, отличная от натурального числа.
Во всех случаях получаем противоречие. Следовательно, $$\sqrt{a}$$ не может быть рациональным числом, то есть оно иррационально.
Ответ
$$\sqrt{a}$$ — иррациональное число.
