Упр.179 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенства:
- $$\log_{2}(4^x-5\cdot2^x+8)>2$$;
- $$\log^2_{0,5}x?5\log_{0,5}x$$;
- $$\lg^2x?\lg x+2$$;
- $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1}-36^x)?-2$$.
а) $$\log_2(4^x-5\cdot 2^x+8)>2.$$
Так как $$2>1,$$ то
$$4^x-5\cdot 2^x+8>4.$$
Положим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-5t+4>0,$$
$$(t-1)(t-4)>0.$$
Отсюда $$t<1$$ или $$t>4.$$ Возвращаясь к $$x,$$ получаем
$$2^x<1 \Rightarrow x<0,$$
$$2^x>4 \Rightarrow x>2.$$
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$
Решение
б) $$\log_{0,5}^2 x+6\ge 5\log_{0,5}x.$$
Пусть $$y=\log_{0,5}x.$$ Тогда
$$y^2-5y+6\ge 0,$$
$$(y-2)(y-3)\ge 0.$$
Следовательно, $$y\le 2$$ или $$y\ge 3.$$
Так как основание $$0,5<1,$$ то знак неравенства при переходе к $$x$$ меняется:
$$\log_{0,5}x\le 2 \Rightarrow x\ge 0,5^2=0,25,$$
$$\log_{0,5}x\ge 3 \Rightarrow x\le 0,5^3=0,125.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем
$$x\in(0;0,125]\cup[0,25;+\infty).$$
Ответ: $$(0;0,125]\cup[0,25;+\infty).$$
Решение
в) $$\lg^2 x\ge \lg x+2.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$y^2-y-2\ge 0,$$
$$(y+1)(y-2)\ge 0.$$
Отсюда $$y\le -1$$ или $$y\ge 2.$$
Возвращаясь к $$x,$$ получаем
$$\lg x\le -1 \Rightarrow x\le 10^{-1}=0,1,$$
$$\lg x\ge 2 \Rightarrow x\ge 10^2=100.$$
С учётом $$x>0$$:
Ответ: $$(0;0,1]\cup[100;+\infty).$$
Решение
г) $$\log_{1/\sqrt5}\!\left(6^{x+1}-36^x\right)\ge -2.$$
Так как $$0<\frac1{\sqrt5}<1,$$ то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:
$$6^{x+1}-36^x\le \left(\frac1{\sqrt5}\right)^{-2}=5.$$
Преобразуем:
$$6\cdot 6^x-6^{2x}\le 5,$$
$$6^{2x}-6\cdot 6^x+5\ge 0.$$
Положим $$t=6^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-6t+5\ge 0,$$
$$(t-1)(t-5)\ge 0.$$
Следовательно, $$t\le 1$$ или $$t\ge 5,$$ то есть
$$6^x\le 1 \Rightarrow x\le 0,$$
$$6^x\ge 5 \Rightarrow x\ge \log_6 5.$$
Проверим область определения:
$$6^{x+1}-36^x>0,$$
$$6\cdot 6^x-6^{2x}>0,$$
$$6^x(6-6^x)>0,$$
откуда $$6^x<6,$$ то есть $$x<1.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;0]\cup[\log_6 5;1).$$
Ответ: $$(-\infty;0]\cup[\log_6 5;1).$$
