Упр.179 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите справедливость неравенства:
   а) $$\sqrt{\cos\alpha}<\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2},$$ если $$-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$$;
   б) $$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha\geq\frac{1}{2}$$ при любом $$\alpha$$.

а) При $$-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\cos\varphi>0.$$ Тогда можно возвести обе части неравенства в квадрат:

$$\sqrt{\cos\varphi}<\sqrt{2}\cos\frac{\varphi}{2} \iff \cos\varphi<2\cos^2\frac{\varphi}{2}.$$

По формуле двойного угла

$$2\cos^2\frac{\varphi}{2}=1+\cos\varphi.$$

Следовательно, нужно доказать неравенство

$$\cos\varphi<1+\cos\varphi,$$

а оно верно при любом $$\varphi.$$

б) Используем тождество

$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

Так как $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ то

$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

Кроме того,

$$\sin^2\alpha\cos^2\alpha\le \left(\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{2}\right)^2=\frac14.$$

Значит,

$$1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\ge 1-2\cdot\frac14=\frac12.$$

Итак,

$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha\ge \frac12.$$

Ответ: а) доказано; б) $$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha\ge \frac12.$$