Упр.178 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

1. $$\lg(x^2+x-6)-\lg(x+3)\mathrel{?}\lg(3)$$;
2. $$\log_3\left(\frac{3x-1}{2-x}\right)<1$$;
3. $$\ln(x^2+3x-10)-\ln(x-2)\mathrel{?}\ln(4)$$;
4. $$\log_3\left(\frac{3x-5}{x+1}\right)\mathrel{?}1$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\lg(x^2+x-6)-\lg(x+3)\le \lg 3.$$

Объединим логарифмы:

$$\lg\frac{x^2+x-6}{x+3}\le \lg 3.$$

Так как функция $$\lg x$$ возрастает, получаем

$$\frac{x^2+x-6}{x+3}\le 3.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x^2+x-6-3x-9}{x+3}\le 0,$$

$$\frac{x^2-2x-15}{x+3}\le 0,$$

$$\frac{(x-5)(x+3)}{x+3}\le 0.$$

С учётом области определения $$x^2+x-6>0$$ и $$x+3>0$$ получаем

$$x>2.$$

Тогда из неравенства остаётся

$$x\le 5.$$

Следовательно,

$$x\in(2;5].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\log_3\frac{3x-1}{2-x}<1.$$

Так как $$1=\log_3 3$$, то

$$\frac{3x-1}{2-x}<3.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3x-1-6+3x}{2-x}<0,$$

$$\frac{6x-7}{2-x}<0,$$

$$\frac{6x-7}{x-2}>0.$$

Критические точки: $$x=\frac76$$ и $$x=2$$. С учётом области определения

$$\frac{3x-1}{2-x}>0,$$

получаем

$$\frac13<x<\frac76.$$

в) Рассмотрим неравенство

$$\ln(x^2+3x-10)-\ln(x-2)\ge \ln 4.$$

Объединим логарифмы:

$$\ln\frac{x^2+3x-10}{x-2}\ge \ln 4.$$

Так как функция $$\ln x$$ возрастает, имеем

$$\frac{x^2+3x-10}{x-2}\ge 4.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x^2+3x-10-4x+8}{x-2}\ge 0,$$

$$\frac{x^2-x-2}{x-2}\ge 0,$$

$$\frac{(x+1)(x-2)}{x-2}\ge 0.$$

С учётом области определения $$x^2+3x-10>0$$ и $$x-2>0$$ получаем

$$x>2.$$

На этой области неравенство выполняется, значит

$$x\in(2;+\infty).$$

г) Рассмотрим неравенство

$$\log_3\frac{3x-5}{x+1}\le 1.$$

Так как $$1=\log_3 3$$, то

$$\frac{3x-5}{x+1}\le 3.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3x-5-3x-3}{x+1}\le 0,$$

$$\frac{-8}{x+1}\le 0.$$

Отсюда

$$x+1>0,\quad x>-1.$$

С учётом области определения

$$\frac{3x-5}{x+1}>0,$$

получаем

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac53.$$

Пересечение с условием $$x>-1$$ даёт

$$x\in\left(\frac53;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in(2;5]$$; б) $$x\in\left(\frac13;\frac76\right)$$; в) $$x\in(2;+\infty)$$; г) $$x\in\left(\frac53;+\infty\right).$$