Упр.178 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

1. а) $$\cos(2x)?\cos(3x)-\cos(4x)$$; б) $$\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)+\cos^2(4x)?2$$; в) $$\sin(2x)+2\sin(x)>0$$; г) $$(1+\cos(2x))(\operatorname{tg}(x)-\sqrt{3})>0$$.

а) $$\cos 2x\le \cos 3x-\cos 4x$$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем сумму косинусов:

$$\cos 2x+\cos 4x\le \cos 3x$$

$$2\cos 3x\cos x\le \cos 3x$$

$$\cos 3x\,(2\cos x-1)\le 0$$

Произведение неположительно, если множители разных знаков или один из них равен нулю.

1) $$\cos 3x\ge 0$$, тогда

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 3x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$

$$-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}$$

2) $$2\cos x-1\le 0$$, то есть

$$\cos x\le \frac12$$

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n$$

С учётом пересечения получаем:

$$x\in\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x+\cos^24x\ge 2$$

Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:

$$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}\ge 2$$

$$4+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x\ge 4$$

$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x\ge 0$$

Сгруппируем:

$$2\cos 5x\cos 3x+2\cos 5x\cos x\ge 0$$

$$2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)\ge 0$$

$$2\cos 5x\cdot 2\cos 2x\cos x\ge 0$$

$$\cos 5x\cos 2x\cos x\ge 0$$

Решение удобно записать как объединение промежутков, где произведение неотрицательно:

$$x\in\left\{-\frac{\pi}{2}+\pi n\right\}\cup\left[-\frac{3\pi}{10}+\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{10}+\pi n;\,\frac{\pi}{10}+\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{10}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin 2x+2\sin x>0$$

$$2\sin x\cos x+2\sin x>0$$

$$2\sin x(\cos x+1)>0$$

Так как $$\cos x+1\ge 0$$ и равно нулю только при $$x=\pi+2\pi n$$, то для строгого неравенства нужно:

$$\sin x>0$$

$$2\pi n<x<\pi+2\pi n$$

Исключая точки, где $$\cos x+1=0$$, получаем:

$$x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\bigl(1+\cos 2x\bigr)(\tg x-\sqrt3)>0$$

$$1+\cos 2x=2\cos^2x\ge 0$$

Это выражение обращается в нуль при $$\cos x=0$$, то есть при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$. Для строгого неравенства нужно, чтобы второй множитель был положителен:

$$\tg x-\sqrt3>0$$

$$\tg x>\sqrt3$$

$$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Ответ:

$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$