Упр.177 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенства:
- $$2\log_{2}x<2+\log_{2}(x+3)$$;
- $$\log_{\frac{1}{6}}(10-x)+\log_{\frac{1}{6}}(x-3)\mathrel{?}-1$$;
- $$\log_{\frac{1}{3}}(x-2)+\log_{\frac{1}{3}}(12-x)\mathrel{?}-2$$;
- $$\log_{0,5}(4-x)\mathrel{?}\log_{0,5}2-\log_{0,5}(x-1)$$.
а) $$2\log_2 x<2+\log_2(x+3)$$
$$\log_2 x^2<\log_2\bigl(4(x+3)\bigr)$$
$$x^2<4x+12$$
$$x^2-4x-12<0$$
$$(x+2)(x-6)<0$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
$$0<x<6.$$
б) $$\log_{\frac16}(10-x)+\log_{\frac16}(x-3)\ge -1$$
$$\log_{\frac16}\bigl((10-x)(x-3)\bigr)\ge \log_{\frac16}6$$
Так как основание $$\frac16<1,$$ знак неравенства меняется:
$$(10-x)(x-3)\le 6$$
$$10x-30-x^2+3x\le 6$$
$$x^2-13x+36\ge 0$$
$$(x-4)(x-9)\ge 0$$
Отсюда $$x\le 4$$ или $$x\ge 9.$$
Область определения:
$$10-x>0,\quad x-3>0,$$
то есть $$3<x<10.$$
Пересечение даёт:
$$x\in(3;4]\cup[9;10).$$
в) $$\log_{\frac13}(x-2)+\log_{\frac13}(12-x)\ge -2$$
$$\log_{\frac13}\bigl((x-2)(12-x)\bigr)\ge \log_{\frac13}9$$
Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:
$$(x-2)(12-x)\le 9$$
$$12x-x^2-24+2x\le 9$$
$$x^2-14x+33\ge 0$$
$$(x-3)(x-11)\ge 0$$
Отсюда $$x\le 3$$ или $$x\ge 11.$$
Область определения:
$$x-2>0,\quad 12-x>0,$$
то есть $$2<x<12.$$
Следовательно,
$$x\in(2;3]\cup[11;12).$$
г) $$\log_{0{,}5}(4-x)\ge \log_{0{,}5}2-\log_{0{,}5}(x-1)$$
$$\log_{0{,}5}(4-x)\ge \log_{0{,}5}\frac{2}{x-1}$$
Так как основание $$0{,}5<1,$$ знак неравенства меняется:
$$4-x\le \frac{2}{x-1}$$
$$\frac{(4-x)(x-1)-2}{x-1}\le 0$$
$$\frac{4x-4-x^2+x-2}{x-1}\le 0$$
$$\frac{x^2-5x+6}{x-1}\ge 0$$
$$\frac{(x-2)(x-3)}{x-1}\ge 0$$
С учётом области определения $$4-x>0,\ x-1>0,$$ получаем $$1<x<4.$$
По знакам дроби:
$$x\in(1;2]\cup[3;4).$$
Ответ
а) $$(0;6)$$; б) $$(3;4]\cup[9;10)$$; в) $$(2;3]\cup[11;12)$$; г) $$(1;2]\cup[3;4)$$.
