Упр.177 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

а) $$\sqrt{3}\operatorname{tg}^2(x)-4\operatorname{tg}(x)+\sqrt{3}>0$$;

б) $$\frac{15}{\sin(x)+1}<11-2\sin(x)$$;

в) $$\frac{2}{\operatorname{tg}(x)+1}<2-\operatorname{tg}(x)$$;

г) $$\operatorname{tg}(x)+\operatorname{ctg}(x)\ ?\ \sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}$$.

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда каждое неравенство сводится к квадратному относительно $$y$$.

а)

$$\sqrt{3}\tg^2 x-4\tg x+\sqrt{3}>0$$

Получаем:

$$\sqrt{3}y^2-4y+\sqrt{3}>0.$$

Найдём корни:

$$D=16-4\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=16-12=4,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2\sqrt{3}},\qquad y_1=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad y_2=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\left(y-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(y-\sqrt{3})>0,$$

откуда

$$y<\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad y>\sqrt{3}.$$

Возвращаясь к $$x$$, получаем:

$$\tg x<\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad \tg x>\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n$$

или

$$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

б)

$$\frac{15}{\sin x+1}<11-2\sin x$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$\frac{15}{y+1}<11-2y.$$

Перенесём всё в одну дробь:

$$\frac{15-(11-2y)(y+1)}{y+1}<0,$$

$$\frac{2y^2-9y+4}{y+1}<0.$$

Разложим числитель на множители:

$$2y^2-9y+4=(2y-1)(y-4).$$

Тогда

$$\frac{(2y-1)(y-4)}{y+1}<0.$$

С учётом $$y=\sin x\in[-1,1]$$ получаем

$$\frac{1}{2}<y\le 1.$$

Значит,

$$\frac{1}{2}<\sin x\le 1,$$

откуда

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

в)

$$\frac{2}{\tg x+1}<2-\tg x$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$\frac{2}{y+1}<2-y.$$

Приведём к одной дроби:

$$\frac{2-(2-y)(y+1)}{y+1}<0,$$

$$\frac{y^2-y}{y+1}<0,$$

$$\frac{y(y-1)}{y+1}<0.$$

Решение по знакам:

$$y<-1 \quad \text{или} \quad 0<y<1.$$

Возвращаясь к $$x$$, получаем:

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

или

$$\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

г)

$$\tg x+\ctg x\ge \sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y+\frac{1}{y}\ge \sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Приведём к одной дроби:

$$\frac{\sqrt{3}y^2-4y+\sqrt{3}}{y}\ge 0.$$

Числитель раскладывается так:

$$\sqrt{3}y^2-4y+\sqrt{3}=\sqrt{3}\left(y-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(y-\sqrt{3}).$$

Тогда

$$\frac{\left(y-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(y-\sqrt{3})}{y}\ge 0.$$

Отсюда

$$0<y\le \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad y\ge \sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\pi n<x\le \frac{\pi}{6}+\pi n$$

или

$$\frac{\pi}{3}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } \left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z};\\ &\text{б) } \left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z};\\ &\text{в) } \left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+\pi n\right)\cup\left(\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z};\\ &\text{г) } \left(\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}. \end{aligned}$$