Упр.176 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$\log_{2}(x^2-x-4)<3$$;
   б) $$\log_{\sqrt{3}-1}(5-2x)>2$$;
   в) $$\lg(x^2-x+8)?1$$;
   г) $$\log_{\sqrt{7}-1}(3-2x)<2$$.

а) $$\log_2(x^2-x-4)<3$$

Так как основание $$2>1$$, получаем:

$$x^2-x-4<2^3=8$$

$$x^2-x-12<0$$

$$(x+3)(x-4)<0$$

Отсюда

$$-3<x<4$$

Теперь учтём область определения:

$$x^2-x-4>0$$

$$x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$$

Следовательно,

$$x<\frac{1-\sqrt{17}}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{1+\sqrt{17}}{2}$$

Пересекаем с $$-3<x<4$$:

$$\left(-3;\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2};4\right)$$

б) $$\log_{\sqrt3-1}(5-2x)>2$$

Так как $$0<\sqrt3-1<1$$, знак неравенства меняется:

$$5-2x<(\sqrt3-1)^2$$

$$5-2x<4-2\sqrt3$$

$$-2x<-1-2\sqrt3$$

$$x>\frac{1+2\sqrt3}{2}$$

Область определения:

$$5-2x>0,\quad x<\frac52$$

Итак,

$$\left(\frac{1+2\sqrt3}{2};\frac52\right)$$

в) $$\lg(x^2-x+8)\ge 1$$

Так как основание десятичного логарифма больше 1, имеем:

$$x^2-x+8\ge 10$$

$$x^2-x-2\ge 0$$

$$(x+1)(x-2)\ge 0$$

Отсюда

$$x\le -1 \quad \text{или}\quad x\ge 2$$

Ответ:

$$(-\infty;-1]\cup[2;+\infty)$$

г) $$\log_{\sqrt7-1}(3-2x)<2$$

Так как $$\sqrt7-1>1$$, получаем:

$$3-2x<(\sqrt7-1)^2$$

$$3-2x<8-2\sqrt7$$

$$-2x<5-2\sqrt7$$

$$x>\sqrt7-\frac52$$

Область определения:

$$3-2x>0,\quad x<\frac32$$

Следовательно,

$$\left(\sqrt7-\frac52;\frac32\right)$$

Ответ

а) $$\left(-3;\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2};4\right)$$; б) $$\left(\frac{1+2\sqrt3}{2};\frac52\right)$$; в) $$(-\infty;-1]\cup[2;+\infty)$$; г) $$\left(\sqrt7-\frac52;\frac32\right)$$.