Упр.176 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что уравнение $$(\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x))\sin(4x)=2$$ не имеет решений.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)\sin 4x=2.$$

Представим выражение в скобках в виде одной синусоиды:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\sin 4x=2,$$

то есть

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\sin 4x=1.$$

Используем формулу произведения синусов:

$$\sin A\sin B=\frac12\left(\cos(A-B)-\cos(A+B)\right).$$

Получаем

$$\frac12\left(\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)\right)=1,$$

или

$$\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=2.$$

Но разность двух косинусов не может равняться $$2$$, если оба косинуса не принимают предельные значения $$1$$ и $$-1$$ одновременно. Проверим, возможно ли это:

$$\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=1,\qquad \cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=-1.$$

Тогда

$$3x-\frac{\pi}{3}=2\pi n,\qquad 5x+\frac{\pi}{3}=\pi+2\pi m,$$

где $$m,n\in\mathbb Z$$. Отсюда

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},$$

$$x=\frac{2\pi}{15}+\frac{2\pi m}{5}.$$

Приравнивая эти выражения, получаем

$$\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}=\frac{2\pi}{15}+\frac{2\pi m}{5}.$$

После умножения на $$45/\pi$$ имеем

$$5+30n=6+18m,$$

то есть

$$30n-18m=1,$$