Упр.176 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$a=\sin x,\quad b=\cos y.$$ Тогда система

$$\begin{cases} a-b=0,\\ a^2+b^2=2 \end{cases}$$

даёт $$b=a$$. Подставим во второе уравнение:

$$a^2+a^2=2,\qquad 2a^2=2,\qquad a^2=1.$$

Следовательно, $$a=\pm1,$$ то есть возможны два случая.

1) $$\sin x=1,\quad \cos y=1.$$ Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y=2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x=-1,\quad \cos y=-1.$$ Тогда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y=\pi+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$

Для системы

$$\begin{cases} x+y=\frac{\pi}{4},\\ \tg x\cdot \tg y=\frac16 \end{cases}$$

из первого уравнения получаем $$y=\frac{\pi}{4}-x.$$ Подставим во второе:

$$\tg x\cdot \tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac16.$$

Используем формулу

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1-\tg x}{1+\tg x}.$$

Тогда

$$\tg x\cdot \frac{1-\tg x}{1+\tg x}=\frac16.$$

Обозначим $$t=\tg x.$$ Получаем

$$6t(1-t)=1+t,$$

$$6t-6t^2=1+t,$$

$$6t^2-5t+1=0.$$

Решая квадратное уравнение, имеем

$$t_1=\frac13,\qquad t_2=\frac12.$$

Значит,

$$x=\arctg\frac13+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac12+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$y=\frac{\pi}{4}-\arctg\frac13-\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{\pi}{4}-\arctg\frac12-\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Для системы

$$\begin{cases} \sin x+\cos y=1,\\ \sin^2 x-\cos^2 y=1 \end{cases}$$

заметим, что

$$\sin^2 x-\cos^2 y=(\sin x+\cos y)(\sin x-\cos y).$$

Тогда из второго уравнения и первого получаем

$$\begin{cases} \sin x+\cos y=1,\\ \sin x-\cos y=1 \end{cases}$$

Складывая уравнения, находим

$$2\sin x=2,\qquad \sin x=1,\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем

$$2\cos y=0,\qquad \cos y=0,\qquad y=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Для системы

$$\begin{cases} x-y=\frac{\pi}{6},\\ \sin x\cos y=\frac12 \end{cases}$$

из первого уравнения имеем $$x=y+\frac{\pi}{6}.$$ Подставим во второе:

$$\sin\left(y+\frac{\pi}{6}\right)\cos y=\frac12.$$

Раскроем синус суммы:

$$\left(\sin y\cos\frac{\pi}{6}+\cos y\sin\frac{\pi}{6}\right)\cos y=\frac12.$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ получаем

$$\frac{\sqrt3}{2}\sin y\cos y+\frac12\cos^2 y=\frac12.$$

Умножим на $$2$$:

$$\sqrt3\sin y\cos y+\cos^2 y=1.$$

Используя $$1-\cos^2 y=\sin^2 y,$$ получаем

$$\sqrt3\sin y\cos y=\sin^2 y.$$

Если $$\sin y=0,$$ то $$y=\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$ и тогда из $$x-y=\frac{\pi}{6}$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi k.$$

Если $$\sin y\ne 0,$$ делим на $$\sin y$$:

$$\sqrt3\cos y=\sin y,\qquad \tg y=\sqrt3.$$

Значит,

$$y=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

и тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\begin{cases} x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\\ y=2\pi k \end{cases}$$ или $$\begin{cases} x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\\ y=\pi+2\pi k \end{cases},\qquad n,k\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\arctg\frac13+\pi n,\ y=\frac{\pi}{4}-\arctg\frac13-\pi n$$ или $$x=\arctg\frac12+\pi n,\ y=\frac{\pi}{4}-\arctg\frac12-\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ y=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$
г) $$\begin{cases} x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\\ y=\pi k \end{cases}$$ или $$\begin{cases} x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\\ y=\frac{\pi}{3}+\pi n \end{cases},\qquad n,k\in\mathbb Z.$$