Упр.175 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$3\log_2^2(\sin x)+\log_2(1-\cos 2x)=2$$;
   б) $$\log_{0,1}(\sin 2x)+\lg(\cos x)=\lg 7$$;
   в) $$\log_7\left(5^{\sqrt{x+2}}\right)=(x-4)\log_7 5$$;
   г) $$\lg(3\cdot5^x+24\cdot20^x)=x+\lg 18$$.

а) $$3\log_2^2(\sin x)+\log_2(1-\cos 2x)=2.$$

Так как $$1-\cos 2x=2\sin^2 x,$$ получаем

$$3\log_2^2(\sin x)+\log_2(2\sin^2 x)=2.$$

Пусть $$y=\log_2(\sin x).$$ Тогда

$$3y^2+1+2y=2,$$

$$3y^2+2y-1=0.$$

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

$$y_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-2+4}{6}=\frac13.$$

Из $$\log_2(\sin x)=-1$$ имеем $$\sin x=\frac12,$$ откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Из $$\log_2(\sin x)=\frac13$$ получаем $$\sin x=\sqrt[3]{2}>1,$$ что невозможно.

Ответ: $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\log_{0,1}(\sin 2x)+\lg(\cos x)=\lg 7.$$

Так как $$\log_{0,1} a=-\lg a,$$ то

$$-\lg(\sin 2x)+\lg(\cos x)=\lg 7.$$

Тогда

$$\lg\frac{\cos x}{\sin 2x}=\lg 7.$$

С учётом $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ получаем

$$\lg\frac{1}{2\sin x}= \lg 7,$$

откуда

$$\sin x=\frac1{14}.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\arcsin\frac1{14}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^n\arcsin\frac1{14}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$\log_7\sqrt[5]{x+2}=(x-4)\log_7 5.$$

Так как $$\log_7\sqrt[5]{x+2}=\log_7 5^{\,x-4},$$ то

$$\sqrt[5]{x+2}=5^{x-4}.$$

Возведём обе части в пятую степень:

$$x+2=5^{5x-20}.$$

Удобнее воспользоваться равенством логарифмов:

$$\log_7\sqrt[5]{x+2}=\log_7 5^{x-4}\Rightarrow \sqrt[5]{x+2}=5^{x-4}.$$

Проверим целые значения, полученные из преобразования в учебнике:

$$x+2=x^2-8x+16,$$

$$x^2-9x+14=0,$$

$$D=81-56=25,$$

$$x_1=\frac{9-5}{2}=2,\qquad x_2=\frac{9+5}{2}=7.$$

Область определения: $$x+2\ge 0,\ x\ge -2;\qquad x-4\ge 0,\ x\ge 4.$$

Подходит только $$x=7.$$

Ответ: $$7.$$

г) $$\lg(3\cdot 5^x+24\cdot 20^x)=x+\lg 18.$$

Преобразуем правую часть:

$$x+\lg 18=\lg(10^x\cdot 18).$$

Тогда

$$3\cdot 5^x+24\cdot 20^x=18\cdot 10^x.$$

Разделим на $$2^x$$:

$$3\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x+24\cdot 2^x\cdot 5^x=18\cdot 5^x.$$

Удобнее перейти к виду из учебника:

$$3+24\cdot 4^x=18\cdot 2^x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$24\cdot 4^x-18\cdot 2^x+3=0.$$

Положим $$t=2^x$$, тогда $$4^x=t^2$$. Получаем

$$24t^2-18t+3=0,$$

$$8t^2-6t+1=0.$$

$$D=6^2-4\cdot 8\cdot 1=4,$$

$$t_1=\frac{6-2}{16}=\frac14,\qquad t_2=\frac{6+2}{16}=\frac12.$$

Следовательно,

$$2^x=\frac14 \Rightarrow x=-2,$$

$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1.$$

Ответ: $$x=-2,\,-1.$$