Упр.175 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$8\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{\cos(x)}+\frac{1}{\sin(x)}$$.

$$8\sin x=\frac{\sqrt3}{\cos x}+\frac1{\sin x}$$

Умножим обе части на $$\sin x\cos x$$:

$$8\sin^2 x\cos x=\sqrt3\sin x+\cos x.$$

Преобразуем левую часть:

$$4\sin 2x\sin x=2\left(\frac12\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\sin x\right).$$

Используем формулы приведения к разности косинусов:

$$2(\cos x-\cos 3x)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$\cos x-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos 3x.$$

По формуле разности косинусов:

$$-2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6}=\cos 3x,$$

откуда

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)=\cos 3x,$$

то есть

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\cos 3x=0.$$

Снова применим формулу разности косинусов:

$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

Отсюда получаем два случая:

1. $$2x+\frac{\pi}{6}=\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};$$
2. $$x-\frac{\pi}{6}=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$