Упр.174 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$x^{\log_2 x-2}=8$$; б) $$x^{\log_5 x}=125x^2$$; в) $$x^{\lg x}=10\,000$$; г) $$x^{\log_3 x-3}=\frac{1}{9}$$.

а) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда

$$x^{\log_2 x-2}=8 \;\Rightarrow\; \log_2\left(x^{\log_2 x-2}\right)=\log_2 8$$

$$\left(\log_2 x-2\right)\log_2 x=3$$

$$y(y-2)=3$$

$$y^2-2y-3=0$$

$$D=4+12=16$$

$$y_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{2+4}{2}=3$$

Тогда

$$x_1=2^{-1}=\frac12,\qquad x_2=2^3=8.$$

б) Пусть $$y=\log_5 x.$$ Тогда

$$x^{\log_5 x}=125x^2 \;\Rightarrow\; \log_5\left(x^{\log_5 x}\right)=\log_5(125x^2)$$

$$\log_5 x\cdot \log_5 x=\log_5 125+\log_5 x^2$$

$$y^2=3+2y$$

$$y^2-2y-3=0$$

$$D=4+12=16$$

$$y_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{2+4}{2}=3$$

Тогда

$$x_1=5^{-1}=\frac15,\qquad x_2=5^3=125.$$

в) Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

$$x^{\lg x}=10000 \;\Rightarrow\; \lg\left(x^{\lg x}\right)=\lg 10000$$

$$\lg x\cdot \lg x=4$$

$$y^2=4$$

$$y=\pm 2$$

Следовательно,

$$x_1=10^{-2}=0{,}01,\qquad x_2=10^2=100.$$

г) Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

$$x^{\log_3 x-3}=\frac19 \;\Rightarrow\; \log_3\left(x^{\log_3 x-3}\right)=\log_3\frac19$$

$$\left(\log_3 x-3\right)\log_3 x=-2$$

$$y(y-3)=-2$$

$$y^2-3y+2=0$$

$$D=9-8=1$$

$$y_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad y_2=\frac{3+1}{2}=2$$

Тогда

$$x_1=3^1=3,\qquad x_2=3^2=9.$$

Ответ: а) $$\frac12,\ 8$$; б) $$\frac15,\ 125$$; в) $$0{,}01,\ 100$$; г) $$3,\ 9$$.