Упр.174 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$x^2+2x\sin(xy)+1=0$$.

$$x^2+2x\sin(xy)+1=0$$

Выразим синус:

$$2x\sin(xy)=-x^2-1,$$

$$\sin(xy)=-\frac{x^2+1}{2x}.$$

Так как $$|\sin(xy)|\le 1,$$ то должно выполняться

$$\left|\frac{x^2+1}{2x}\right|\le 1.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x>0,$$ то

$$\frac{x^2+1}{2x}\le 1,$$

$$x^2-2x+1\le 0,$$

$$\left(x-1\right)^2\le 0,$$

откуда $$x=1.$$ Тогда

$$\sin y=-1,$$

$$y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$x<0,$$ то

$$-\frac{x^2+1}{2x}\le 1,$$

$$x^2+2x+1\ge 0,$$

$$\left(x+1\right)^2\ge 0,$$

откуда $$x=-1.$$ Тогда

$$\sin(-y)=1,$$

$$\sin y=-1,$$

$$y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак, решения уравнения:

$$\left(1,\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad \left(-1,\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$\left(\pm 1;\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$