Упр.174 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\cos 5x-\cos 3x=0$$

Преобразуем разность косинусов в произведение:

$$-2\sin \frac{5x-3x}{2}\sin \frac{5x+3x}{2}=0$$

$$-2\sin x\sin 4x=0$$

Следовательно,

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0.$$

Тогда

$$x=\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

или

$$4x=\pi k,\; x=\frac{\pi}{4}k,\; k\in \mathbb Z.$$

Так как значения $$x=\pi n$$ входят в множество решений $$x=\frac{\pi}{4}k$$ при $$k=4n$$, то общее решение:

$$x=\frac{\pi}{4}k,\; k\in \mathbb Z.$$

б) $$\sin 7x-\sin x=\cos 4x$$

Преобразуем левую часть:

$$2\sin \frac{7x-x}{2}\cos \frac{7x+x}{2}=\cos 4x$$

$$2\sin 3x\cos 4x=\cos 4x$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$2\sin 3x\cos 4x-\cos 4x=0$$

$$\cos 4x\,(2\sin 3x-1)=0.$$

Отсюда

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 3x-1=0.$$

1) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$2\sin 3x-1=0 \Rightarrow \sin 3x=\frac12.$$

Тогда

$$3x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in \mathbb Z,$$

$$x=(-1)^k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{3}k,\; k\in \mathbb Z.$$

в) $$\sin 5x-\sin x=0$$

Преобразуем разность синусов:

$$2\sin 2x\cos 3x=0.$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$

Тогда

$$2x=\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}n,\; n\in \mathbb Z$$

или

$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}k,\; k\in \mathbb Z.$$

г) $$\cos 3x+\cos x=4\cos 2x$$

Преобразуем сумму косинусов:

$$2\cos 2x\cos x=4\cos 2x$$

$$2\cos 2x(\cos x-2)=0.$$

Так как $$\cos x-2\neq 0$$ при любых $$x$$, то

$$\cos 2x=0.$$

Отсюда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\; k\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}k,\; k\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}n,\; n\in \mathbb Z;\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{3}k,\; k\in \mathbb Z.$$

в) $$x=\frac{\pi}{2}n,\; n\in \mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}k,\; k\in \mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\; k\in \mathbb Z.$$