Упр.173 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$\log_2 x+\frac{4}{\log_x 2}=5$$; б) $$\log_3 x+\log_{\sqrt{x}}x-\log_{\frac{1}{3}}x=6$$; в) $$2\log_{\sqrt{3}}x+\log_x\frac{1}{3}=3$$; г) $$\log_{\sqrt{2}}x+4\log_{x^2}x+\log_8x=16$$.

а) $$\log_2 x+\frac{4}{\log_x 2}=5.$$

Так как $$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x},$$ получаем:

$$\log_2 x+\frac{4}{1/\log_2 x}=5.$$

Обозначим $$t=\log_2 x.$$ Тогда

$$t+4t=5,$$

$$5t=5,$$

$$t=1.$$

Следовательно,

$$\log_2 x=1,\quad x=2.$$

б) $$\log_3 x+\log_{\sqrt{x}} x-\log_{1/3} x=6.$$

Преобразуем логарифмы:

$$\log_{\sqrt{x}} x=2,\qquad \log_{1/3} x=-\log_3 x.$$

Тогда

$$\log_3 x+2-(-\log_3 x)=6,$$

$$2\log_3 x=4,$$

$$\log_3 x=2,$$

$$x=3^2=9.$$

в) $$2\log_{\sqrt{3}} x+\log_x \frac13=3.$$

Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

$$\log_{\sqrt{3}} x=\frac{\log_3 x}{\log_3 \sqrt{3}}=\frac{y}{1/2}=2y,$$

а также

$$\log_x \frac13=\frac{\log_3 (1/3)}{\log_3 x}=\frac{-1}{y}.$$

Получаем уравнение

$$2\cdot 2y-\frac{1}{y}=3,$$

$$4y-\frac{1}{y}=3.$$

Умножим на $$y$$:

$$4y^2-3y-1=0.$$

$$D=9+16=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{8}.$$

Отсюда

$$y_1=-\frac14,\qquad y_2=1.$$

Тогда

$$x=3^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{3}},\qquad x=3^1=3.$$

г) $$\log_{\sqrt{2}} x+4\log_{x^2} x+\log_8 x=16.$$

Преобразуем логарифмы:

$$\log_{\sqrt{2}} x=\frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt{2}}=2\log_2 x,$$

$$\log_{x^2} x=\frac{1}{2},$$

$$\log_8 x=\frac{\log_2 x}{3}.$$

Тогда

$$2\log_2 x+4\cdot \frac12+\frac13\log_2 x=16,$$

$$2\log_2 x+2+\frac13\log_2 x=16,$$

$$\frac73\log_2 x=14,$$

$$\log_2 x=6,$$

$$x=2^6=64.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$9$$; в) $$\frac{1}{\sqrt[4]{3}},\ 3$$; г) $$64$$.