Упр.173 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$2\cos\left(\frac{x}{10}\right)=2^x+2^{-x}$$.

Рассмотрим уравнение

$$2\cos\frac{x}{10}=2^x+2^{-x}.$$

Для правой части по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим имеем

$$2^x+2^{-x}\ge 2\sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}=2.$$

Для левой части известно, что

$$\cos\frac{x}{10}\le 1,$$

значит

$$2\cos\frac{x}{10}\le 2.$$

Следовательно, в равенстве обе части должны быть равны $$2$$:

$$2\cos\frac{x}{10}=2,\qquad 2^x+2^{-x}=2.$$

Из первого получаем

$$\cos\frac{x}{10}=1,$$

откуда

$$\frac{x}{10}=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
то есть
$$x=20\pi k.$$

Из второго равенства

$$2^x+2^{-x}=2$$

равенство в неравенстве AM-GM достигается только при

$$2^x=2^{-x},$$

значит

$$x=0.$$

Это значение подходит и для первого равенства. Поэтому единственное решение:

Ответ: $$0$$.