Упр.173 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Преобразуем каждое уравнение.

1. $$\sin 4x+\sin^2 2x=0$$
   
   Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:
   $$2\sin 2x\cos 2x+\sin^2 2x=0$$
   $$\sin 2x\,(2\cos 2x+\sin 2x)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x+\sin 2x=0.$$
   
   1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n,\; x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$
   
   2) $$2\cos 2x+\sin 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=-2.$$
   Тогда
   $$2x=\arctg(-2)+\pi k=-\arctg 2+\pi k,\; k\in\mathbb Z,$$
   значит
   $$x=-\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb Z.$$
2. $$\frac{3}{5\tg x+8}=1$$
   
   Тогда
   $$3=5\tg x+8,$$
   $$5\tg x=-5,$$
   $$\tg x=-1.$$
   Следовательно,
   $$x=\arctg(-1)+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
3. $$\frac{5}{3\sin x+4}=2$$
   
   Получаем:
   $$5=2(3\sin x+4),$$
   $$5=6\sin x+8,$$
   $$6\sin x=-3,$$
   $$\sin x=-\frac12.$$
   Тогда
   $$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$
4. $$1-\sin 2x=\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^2$$
   
   Раскроем квадрат справа:
   $$\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^2=\cos^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}$$
   $$=1-\sin x.$$
   Тогда уравнение принимает вид
   $$1-\sin 2x=1-\sin x,$$
   $$\sin 2x=\sin x,$$
   $$2\sin x\cos x=\sin x,$$
   $$\sin x(2\cos x-1)=0.$$
   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$
   Значит,
   $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$
   или
   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb Z.$$
б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z;\quad x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$