Упр.172 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$2\log_5(\lg x)=\log_5(10-9\lg x)$$;
   б) $$\lg(3^x+x-17)=x\lg(30)-x$$;
   в) $$2\lg(\lg x)=\lg(3-2\lg x)$$;
   г) $$x-x\lg 5=\lg(2^x+x-3)$$.

а) $$2\log_5(\lg x)=\log_5(10-9\lg x)$$

$$\log_5\bigl((\lg x)^2\bigr)=\log_5(10-9\lg x)$$

Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то

$$\lg^2 x=10-9\lg x.$$

Пусть $$y=\lg x$$. Тогда

$$y^2+9y-10=0.$$

$$D=9^2+4\cdot 10=121,$$

$$y_1=\frac{-9-11}{2}=-10,\qquad y_2=\frac{-9+11}{2}=1.$$

Так как $$\lg x=1,$$ то

$$x=10.$$

Ответ: $$10$$.

б) $$\lg(3^x+x-17)=x\lg 30-x$$

$$x\lg 30-x=x(\lg 30-\lg 10)=x\lg\frac{30}{10}=x\lg 3.$$

Тогда

$$\lg(3^x+x-17)=x\lg 3=\lg 3^x.$$

Следовательно,

$$3^x+x-17=3^x,$$

откуда

$$x=17.$$

Ответ: $$17$$.

в) $$2\lg(\lg x)=\lg(3-2\lg x)$$

$$\lg\bigl((\lg x)^2\bigr)=\lg(3-2\lg x).$$

Тогда

$$\lg^2 x=3-2\lg x.$$

Пусть $$y=\lg x$$. Получаем

$$y^2+2y-3=0.$$

$$D=2^2+4\cdot 3=16,$$

$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$

Из условия области допустимых значений $$\lg x>0$$, значит подходит только $$y=1$$. Тогда

$$x=10.$$

Ответ: $$10$$.

г) $$x-x\lg 5=\lg(2^x+x-3)$$

$$x\bigl(1-\lg 5\bigr)=\lg(2^x+x-3).$$

Так как $$1=\lg 10,$$ то

$$x(\lg 10-\lg 5)=x\lg 2=\lg 2^x.$$

Следовательно,

$$\lg 2^x=\lg(2^x+x-3),$$

откуда

$$2^x=2^x+x-3.$$

Тогда

$$x=3.$$

Ответ: $$3$$.