Упр.172 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$\sin^8(x)+\cos^8(x)=\frac{17}{32}$$; б) $$\sin^{100}(x)+\cos^{100}(x)=1$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\sin^8 x+\cos^8 x=(\sin^4 x+\cos^4 x)^2-2\sin^4 x\cos^4 x.$$

Так как

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x =1-2\sin^2 x\cos^2 x,$$

то

$$\sin^8 x+\cos^8 x=\left(1-2\sin^2 x\cos^2 x\right)^2-2\sin^4 x\cos^4 x.$$

Положим $$y=\sin^2 2x$$. Тогда

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac{\sin^2 2x}{4}=\frac{y}{4},$$

и уравнение принимает вид

$$\left(1-\frac{y}{2}\right)^2-\frac{y^2}{8}=\frac{17}{32}.$$

Упростим:

$$1-y+\frac{y^2}{4}-\frac{y^2}{8}=\frac{17}{32},$$

$$4y^2-32y+15=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=32^2-4\cdot 4\cdot 15=784,$$

$$y_{1,2}=\frac{32\pm 28}{8}.$$

Получаем $$y_1=\frac12$$, $$y_2=\frac{15}{4}$$. Но $$y=\sin^2 2x\le 1$$, значит подходит только

$$\sin^2 2x=\frac12.$$

Тогда

$$\sin 2x=\pm \frac{\sqrt2}{2},$$

откуда

$$2x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \quad n\in \mathbb Z.$$

б) Так как при любом $$x$$ выполняется

$$\sin^{100}x\le \sin^2 x,\qquad \cos^{100}x\le \cos^2 x,$$

то

$$\sin^{100}x+\cos^{100}x\le \sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Равенство возможно только тогда, когда одновременно

$$\sin^{100}x=\sin^2 x,\qquad \cos^{100}x=\cos^2 x.$$

Это происходит при $$\sin x=0$$ или $$\cos x=0$$. Проверяем:

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$