Упр.172 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin 2x+2\cos x=1$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$1=\sin^2 x+\cos^2 x$$:

$$2\sin x\cos x+2\cos^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x$$

$$3\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда $$\sin x=\pm 1$$, и левая часть исходного уравнения равна $$\pm 1\neq 1$$. Значит, $$\cos x\neq 0$$, можно разделить на $$\cos^2 x$$:

$$3\tan^2 x-2\tan x-1=0$$

Пусть $$t=\tan x$$. Тогда

$$3t^2-2t-1=0$$

$$t_1=1,\quad t_2=-\frac13$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$x=-\arctan\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$\sin^4\frac{x}{4}-\cos^4\frac{x}{4}=0$$

Разложим разность квадратов:

$$\left(\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}\right)\left(\sin^2\frac{x}{4}+\cos^2\frac{x}{4}\right)=0$$

Так как $$\sin^2\frac{x}{4}+\cos^2\frac{x}{4}=1$$, получаем

$$\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=0$$

$$-\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$3\sin 2x+\cos 2x=2\cos^2 x$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$6\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x$$

$$6\sin x\cos x-\sin^2 x-\cos^2 x=0$$

$$\sin^2 x-6\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tan^2 x-6\tan x+1=0$$

$$\tan x=3\pm 2\sqrt2$$

Отсюда

$$x=\arctan(3-2\sqrt2)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\arctan(3+2\sqrt2)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$1-\cos x=2\sin\frac{x}{2}$$

Преобразуем левую часть по формуле $$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$:

$$2\sin^2\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}$$

$$2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-1\right)=0$$

Следовательно,

$$\sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}=1$$

1) $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\sin\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\arctan\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\arctan(3-2\sqrt2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\arctan(3+2\sqrt2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$