Упр.171 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\log_3^2 x=4-3\log_3 x$$;
   б) $$\frac{1}{2}\lg(2x-1)=1-\lg\sqrt{x-9}$$;
   в) $$\log_3\sqrt{x-5}+\log_3\sqrt{2x-3}=1$$;
   г) $$3\lg^2(x-1)-10\lg(x-1)+3=0$$.

а) Пусть $$y=\log_3 x,$$ тогда получаем:

$$y^2=4-3y$$

$$y^2+3y-4=0$$

$$D=3^2+4\cdot 4=25$$

$$y_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-3+5}{2}=1$$

Тогда

$$x_1=3^{-4}=\frac{1}{81},\qquad x_2=3^1=3$$

Ответ: $$\frac{1}{81};\ 3.$$

б) Область определения:

$$2x-1>0,\qquad x-9>0$$

Отсюда $$x>9.$$

Преобразуем уравнение:

$$\frac12\lg(2x-1)=1-\lg\sqrt{x-9}$$

$$\frac12\lg(2x-1)+\frac12\lg(x-9)=1$$

$$\lg\bigl((2x-1)(x-9)\bigr)=2$$

$$(2x-1)(x-9)=100$$

$$2x^2-19x+9=100$$

$$2x^2-19x-91=0$$

$$D=19^2+4\cdot 2\cdot 91=1089$$

$$x_{1,2}=\frac{19\pm 33}{4}$$

$$x_1=-\frac72,\qquad x_2=13$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=13.$$

Ответ: $$13.$$

в) Область определения:

$$x-5>0,\qquad 2x-3>0$$

Отсюда $$x>5.$$

Преобразуем уравнение:

$$\log_3\sqrt{x-5}+\log_3\sqrt{2x-3}=1$$

$$\frac12\log_3(x-5)+\frac12\log_3(2x-3)=1$$

$$\log_3\bigl((x-5)(2x-3)\bigr)=2$$

$$(x-5)(2x-3)=9$$

$$2x^2-13x+15=9$$

$$2x^2-13x+6=0$$

$$D=13^2-4\cdot 2\cdot 6=121$$

$$x_{1,2}=\frac{13\pm 11}{4}$$

$$x_1=\frac12,\qquad x_2=6$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=6.$$

Ответ: $$6.$$

г) Пусть $$y=\lg(x-1),$$ тогда:

$$3y^2-10y+3=0$$

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$

$$y_1=\frac13,\qquad y_2=3$$

Тогда

$$\lg(x-1)=\frac13 \Rightarrow x-1=10^{1/3}=\sqrt[3]{10}$$

$$x=\sqrt[3]{10}+1$$

и

$$\lg(x-1)=3 \Rightarrow x-1=10^3=1000$$

$$x=1001$$

Ответ: $$\sqrt[3]{10}+1;\ 1001.$$