Упр.171 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\cos\frac{\pi x}{31}\cos\frac{2\pi x}{31}\cos\frac{8\pi x}{31}\cos\frac{16\pi x}{31}=\frac{1}{32}$$.

Используем формулу

$$\cos a\cos 2a\cos 4a\cos 8a\cos 16a=\frac{\sin 32a}{32\sin a}.$$

При $$a=\frac{\pi x}{31}$$ получаем

$$\frac{\sin \frac{32\pi x}{31}}{32\sin \frac{\pi x}{31}}=\frac{1}{32}.$$

Отсюда

$$\sin \frac{32\pi x}{31}=\sin \frac{\pi x}{31}, \qquad \sin \frac{\pi x}{31}\ne 0.$$

Решим уравнение $$\sin A=\sin B$$:

$$A=B+2\pi k \quad \text{или} \quad A=\pi-B+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

1) $$\frac{32\pi x}{31}=\frac{\pi x}{31}+2\pi k$$

$$31\pi x=62\pi k,\qquad x=2k.$$

Проверка условия $$\sin \frac{\pi x}{31}\ne 0$$ даёт $$x\ne 31m,\ m\in\mathbb Z$$, то есть для этого случая нужно $$k\ne 31m.$$

2) $$\frac{32\pi x}{31}=\pi-\frac{\pi x}{31}+2\pi k$$

$$32\pi x=31\pi-\pi x+62\pi k,$$

$$33\pi x=31\pi(2k+1),$$

$$x=\frac{31}{33}(2k+1).$$

Здесь также должно выполняться $$\sin \frac{\pi x}{31}\ne 0$$, что автоматически верно, так как $$\frac{31}{33}(2k+1)\ne 31m$$.

Ответ: $$x=2k,\ k\ne 31m;\quad x=\frac{31}{33}(2k+1),\ k,m\in\mathbb Z.$$