Упр.171 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2\sin^2 x=\sqrt{3}\sin 2x$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$2\sin^2 x=\sqrt{3}\cdot 2\sin x\cos x$$

Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:

$$2\sin x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

2) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$

При $$\cos x\neq 0$$ делим на $$\cos x$$:

$$\tg x=\sqrt{3}$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\; k\in \mathbb{Z}$$

б) $$\sqrt{3}\tg x-\sqrt{3}\ctg x=2$$

Положим $$t=\tg x$$, тогда $$\ctg x=\frac{1}{t}$$. Получаем:

$$\sqrt{3}t-\sqrt{3}\cdot \frac{1}{t}=2$$

Умножим на $$t$$:

$$\sqrt{3}t^2-2t-\sqrt{3}=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-2)^2-4\cdot \sqrt{3}\cdot (-\sqrt{3})=4+12=16$$

$$t=\frac{2\pm 4}{2\sqrt{3}}$$

$$t_1=\sqrt{3}, \quad t_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Значит,

$$\tg x=\sqrt{3} \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Отсюда:

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

или

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

в) $$\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$$

Проверим случай $$\cos x=0$$: тогда $$\sin x=\pm 1$$, и уравнение не выполняется. Значит, $$\cos x\neq 0$$, можно разделить на $$\cos x$$:

$$\tg x=-\sqrt{3}$$

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

г) $$\tg x=3\ctg x$$

Пусть $$t=\tg x$$, тогда $$\ctg x=\frac{1}{t}$$. Получаем:

$$t=3\cdot \frac{1}{t}$$

$$t^2=3$$

$$t=\pm \sqrt{3}$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$ или $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\; k\in \mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$ или $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

в) $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

г) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$ или $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$