Упр.170 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$x^2\cdot 3^x-3^{x+1}?0$$;
   б) $$3{,}7^{\frac{x^2+2x-15}{x-4}}>1$$;
   в) $$x^2\cdot 5^x-5^{2+x}<0$$;
   г) $$2^{x+2}-2^{x+3}-2^{x+4}>5^{x+1}-5^{x+2}$$.

а) $$x^2\cdot 3^x-3^{x+1}\le 0$$

Вынесем общий множитель:

$$3^x(x^2-3)\le 0.$$

Так как $$3^x>0$$ при любом $$x$$, то

$$x^2-3\le 0,$$

откуда

$$x^2\le 3,\qquad |x|\le \sqrt{3}.$$

Ответ: $$[-\sqrt{3};\sqrt{3}].$$

б) $$3{,}7^{\frac{x^2+2x-15}{x-4}}>1$$

Так как основание $$3{,}7>1$$, то неравенство равносильно

$$\frac{x^2+2x-15}{x-4}>0.$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2+2x-15=(x+5)(x-3).$$

Тогда

$$\frac{(x+5)(x-3)}{x-4}>0.$$

Критические точки: $$x=-5,\;3,\;4.$$ По знакам получаем

$$x\in(-5;3)\cup(4;+\infty).$$

Ответ: $$(-5;3)\cup(4;+\infty).$$

в) $$x^2\cdot 5^x-5^{x+2}<0$$

Вынесем $$5^x$$:

$$5^x(x^2-25)<0.$$

Так как $$5^x>0$$ при любом $$x$$, то

$$x^2-25<0,$$

откуда

$$x^2<25,\qquad |x|<5.$$

Ответ: $$(-5;5).$$

г) $$2^{x+2}-2^{x+3}-2^{x+4}>5^{x+1}-5^{x+2}$$

Преобразуем обе части:

$$2^x(4-8-16)>5^x(5-25).$$

Получаем

$$-20\cdot 2^x>-20\cdot 5^x.$$

Делим на $$-20$$, меняя знак неравенства:

$$2^x<5^x.$$

Так как $$5^x>2^x$$ при $$x>0$$, а при $$x=0$$ равенство, то

$$x>0.$$

Ответ: $$(0;+\infty).$$