Упр.170 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tg x+\ctg x$$.

$$\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tg x+\ctg x.$$

Представим правую часть через синус и косинус:

$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.$$

Тогда

$$\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{1}{\sin x\cos x}.$$

Обозначим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

откуда

$$\sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}.$$

Подставим это в уравнение:

$$\sqrt{2}\,y=\frac{2}{y^2-1},$$

$$y(y^2-1)=\sqrt{2},$$

$$y^3-y-\sqrt{2}=0.$$

Проверим корень $$y=\sqrt{2}$$:

$$\left(\sqrt{2}\right)^3-\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0.$$

Значит, $$y=\sqrt{2}$$. Тогда

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}.$$

Преобразуем:

$$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2},$$

$$\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}=1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$