Упр.170 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а)

$$4\sin^2 x-\sin 2x=3$$
$$4\sin^2 x-2\sin x\cos x=3$$
$$4\sin^2 x-2\sin x\cos x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
$$\sin^2 x-2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$

Проверим, что $$\cos x\neq 0$$. Если бы $$\cos x=0$$, то из уравнения получилось бы $$\sin^2 x=0$$, что невозможно, так как при $$\cos x=0$$ имеем $$\sin^2 x=1$$.

Делим уравнение на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$
$$(\tg x-3)(\tg x+1)=0$$

Тогда

$$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

$$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б)

$$\cos 2x=2\cos x-1$$
$$1-2\sin^2 x=2\cos x-1$$
$$2\cos^2 x-2\cos x=0$$
$$2\cos x(\cos x-1)=0$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
$$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

в)

$$\sin 2x-\cos x=0$$
$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$
$$\cos x(2\sin x-1)=0$$

Следовательно,

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

г)

$$\sin 2x+4\cos^2 x=1$$
$$2\sin x\cos x+4\cos^2 x-1=0$$
$$2\sin x\cos x+4\cos^2 x-\sin^2 x-\cos^2 x=0$$
$$3\cos^2 x+2\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$

Проверим, что $$\cos x\neq 0$$. Если бы $$\cos x=0$$, то получилось бы $$-\sin^2 x=0$$, что невозможно.

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$3+2\tg x-\tg^2 x=0$$
$$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$
$$(\tg x-3)(\tg x+1)=0$$

Тогда

$$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

$$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$