Упр.17 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Что такое периодическая функция, период функции?
2. Какой наименьший положительный период имеет функция: а) $$y=\cos(x)$$; б) $$y=\operatorname{tg}(x)$$; в) $$y=\sin(x)$$; г) $$y=\operatorname{ctg}(x)$$?
3. Найдите наименьший положительный период функции: а) $$y=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$; б) $$y=\cos(4x+1)$$; в) $$y=\operatorname{tg}(2x)$$; г) $$y=\cos\left(\frac{x}{3}\right)$$.

1) Функцию $$f(x)$$ называют периодической с периодом $$T\ne 0$$, если для любого $$x$$ из области определения выполняется равенство

$$f(x+T)=f(x), \quad x\in D(f).$$

2) Наименьший положительный период функций:

• $$y=\cos x$$ — $$T=2\pi$$;
• $$y=\tg x$$ — $$T=\pi$$;
• $$y=\sin x$$ — $$T=2\pi$$;
• $$y=\ctg x$$ — $$T=\pi$$.

3) Найдём наименьший положительный период функций:

• $$y=\sin \frac{x}{2}$$. Здесь аргумент равен $$\frac{x}{2}$$, значит период увеличивается в $$2$$ раза: $$T=2\pi\cdot 2=4\pi$$;
• $$y=\cos(4x+1)$$. Сдвиг $$+1$$ на период не влияет, поэтому
  $$T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2};$$
• $$y=\tg(2x)$$. Для тангенса период $$\pi$$, значит
  $$T=\frac{\pi}{2};$$
• $$y=\cos \frac{x}{3}$$. Период увеличивается в $$3$$ раза:
  $$T=2\pi\cdot 3=6\pi.$$

Ответ: 1) $$f(x+T)=f(x)$$; 2) а) $$2\pi$$, б) $$\pi$$, в) $$2\pi$$, г) $$\pi$$; 3) а) $$4\pi$$, б) $$\frac{\pi}{2}$$, в) $$\frac{\pi}{2}$$, г) $$6\pi$$.