Упр.17 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа.

Любая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть представлена как сумма конечной десятичной дроби и суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем $$10^{-k},$$ где $$k$$ — число цифр в периоде.

Сумма конечной десятичной дроби — рациональное число. Сумма бесконечной геометрической прогрессии также рациональна, так как при $$|q|<1$$

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

Значит, любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа, что и требовалось доказать.