Упр.169 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$0{,}04^x-26\cdot0{,}2^x+25\mathrel{?}0$$;
   б) $$9^x-84\cdot3^{-2x}+\frac{1}{3}>0$$;
   в) $$4^x-10\cdot2^x+16<0$$;
   г) $$2^{2x+1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2x+1}-\frac{5}{2}\mathrel{?}0$$.

Положим в каждом пункте новую переменную и сведём неравенства к квадратным.

а)

$$0{,}04^x-26\cdot 0{,}2^x+25\le 0.$$

Так как $$0{,}04^x=(0{,}2^2)^x=0{,}2^{2x},$$ то получаем:

$$0{,}2^{2x}-26\cdot 0{,}2^x+25\le 0.$$

Обозначим $$t=0{,}2^x,$$ тогда $$t>0$$ и

$$t^2-26t+25\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=26^2-4\cdot 25=576,$$

$$t_{1,2}=\frac{26\pm 24}{2},\quad t_1=1,\quad t_2=25.$$

Тогда

$$(t-1)(t-25)\le 0,$$

откуда

$$1\le t\le 25.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$1\le 0{,}2^x\le 25.$$

Так как $$0{,}2=\frac15,$$ то

$$\left(\frac15\right)^x\in [1,25],$$

значит

$$-2\le x\le 0.$$

б)

$$9^x-84\cdot 3^{-2x}+\frac13>0.$$

Преобразуем:

$$9^x=3^{2x},\qquad 3^{-2x}=\frac1{3^{2x}}.$$

Пусть $$t=3^{2x},$$ тогда $$t>0$$ и

$$t-\frac{84}{t}+\frac13>0.$$

Умножим на $$3t>0$$:

$$3t^2-252+t>0,$$

то есть

$$3t^2+t-252>0.$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot 3\cdot 252=3025,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 55}{6},\quad t_1=-\frac{28}{3},\quad t_2=9.$$

Так как $$t>0,$$ то подходит только

$$t>9.$$

Следовательно,

$$3^{2x}>9=3^2,$$

откуда

$$2x>2,\quad x>1.$$

в)

$$4^x-10\cdot 2^x+16<0.$$

Пусть $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и $$4^x=t^2.$$ Получаем:

$$t^2-10t+16<0.$$

Найдём корни:

$$D=10^2-4\cdot 16=36,$$

$$t_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2},\quad t_1=2,\quad t_2=8.$$

Тогда

$$(t-2)(t-8)<0,$$

откуда

$$2<t<8.$$

Возвращаясь к $$x$$, имеем:

$$2<2^x<8=2^3,$$

значит

$$1<x<3.$$

г)

$$2^{2x+1}+\left(\frac12\right)^{2x+1}-\frac52\ge 0.$$

Преобразуем:

$$2^{2x+1}=2\cdot 2^{2x},\qquad \left(\frac12\right)^{2x+1}=2^{-(2x+1)}=\frac1{2\cdot 2^{2x}}.$$

Удобно ввести переменную $$t=2^{2x},$$ тогда $$t>0$$ и

$$2t+\frac1{2t}-\frac52\ge 0.$$

Умножим на $$2t>0$$:

$$4t^2-5t+1\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2-4\cdot 4\cdot 1=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{8},\quad t_1=\frac14,\quad t_2=1.$$

Тогда

$$\left(t-\frac14\right)(t-1)\ge 0,$$

откуда

$$t\le \frac14 \quad \text{или} \quad t\ge 1.$$

Возвращаясь к $$x$$:

$$2^{2x}\le \frac14=2^{-2}\quad \Rightarrow \quad 2x\le -2 \quad \Rightarrow \quad x\le -1,$$

или

$$2^{2x}\ge 1=2^0\quad \Rightarrow \quad 2x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge 0.$$

Ответ

а) $$[-2;0]$$; б) $$(1;+\infty)$$; в) $$(1;3)$$; г) $$(-\infty;-1]\cup [0;+\infty).$$