Упр.169 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=1$$; б) $$2\sin(x)+3\cos(x)=4$$.

а) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1.$$

Представим левую часть в виде одной синусоиды:

$$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right).$$

Так как

$$\frac12=\sin\frac{\pi}{6}, \qquad \frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6},$$

то

$$\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x=\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}\cos x=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Следовательно,

$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$2\sin x+3\cos x=4.$$

Оценим левую часть:

$$|2\sin x+3\cos x|\le \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.$$

Но $$\sqrt{13}<4,$$ значит равенство $$2\sin x+3\cos x=4$$ невозможно.

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$\varnothing.$$