Упр.169 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а) $$3\sin^2 x+\sin x\cos x=2\cos^2 x$$

Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда уравнение принимает вид $$3\sin^2 x=0,$$ откуда $$\sin x=0,$$ что невозможно одновременно с $$\cos x=0.$$ Значит, $$\cos x\neq 0.$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2 x$$:

$$3\tan^2 x+\tan x=2.$$

Положим $$t=\tan x$$. Тогда

$$3t^2+t-2=0,$$

$$t_1=-1,\quad t_2=\frac23.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\arctan\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$2\cos^2 x-3\sin x\cos x+\sin^2 x=0$$

Случай $$\cos x=0$$ невозможен: тогда получаем $$\sin^2 x=0,$$ что противоречит $$\cos x=0.$$ Значит, $$\cos x\neq 0.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$2-3\tan x+\tan^2 x=0,$$

$$\tan^2 x-3\tan x+2=0.$$

Пусть $$t=\tan x$$. Тогда

$$t^2-3t+2=0,$$

$$t_1=1,\quad t_2=2.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\arctan 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$9\sin x\cos x-7\cos^2 x=2\sin^2 x$$

Случай $$\cos x=0$$ невозможен: тогда $$2\sin^2 x=0,$$ то есть $$\sin x=0,$$ что невозможно одновременно с $$\cos x=0.$$ Значит, $$\cos x\neq 0.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$9\tan x-7=2\tan^2 x,$$

$$2\tan^2 x-9\tan x+7=0.$$

Пусть $$t=\tan x$$. Тогда

$$2t^2-9t+7=0,$$

$$t_1=1,\quad t_2=\frac72.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\arctan\frac72+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$2\sin^2 x-\sin x\cos x=\cos^2 x$$

Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда уравнение даёт $$2\sin^2 x=0,$$ откуда $$\sin x=0,$$ что невозможно одновременно с $$\cos x=0.$$ Значит, $$\cos x\neq 0.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$2\tan^2 x-\tan x=1,$$

$$2\tan^2 x-\tan x-1=0.$$

Пусть $$t=\tan x$$. Тогда

$$2t^2-t-1=0,$$

$$t_1=1,\quad t_2=-\frac12.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\arctan\!\left(-\frac12\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$