Упр.168 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$\frac{16}{\sqrt{32}}? \left(\frac{1}{2}\right)^{3+x}$$;
   б) $$3^{x^2+x}<10^{\lg 9}$$;
   в) $$3\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2-3x}<\frac{1}{9}$$;
   г) $$4^{x^2+x-11}>5^{\log(5;4)}$$.

1. $$\frac{16}{\sqrt{32}} \ge \left(\frac12\right)^{3+x}$$

   Представим левую часть как степень двойки:

   $$\frac{16}{\sqrt{32}}=\frac{2^4}{2^{5/2}}=2^{3/2}.$$

   Тогда

   $$2^{3/2}\ge 2^{-3-x}.$$

   Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:

   $$\frac32\ge -3-x,$$

   $$x\ge -\frac92.$$

2. $$3^{x^2+x}<10^{\lg 9}.$$

   Так как $$10^{\lg 9}=9=3^2,$$ получаем

   $$3^{x^2+x}<3^2.$$

   При основании $$3>1$$ имеем

   $$x^2+x<2,$$

   $$x^2+x-2<0,$$

   $$(x+2)(x-1)<0.$$

   Отсюда

   $$-2<x<1.$$

3. $$3\cdot \left(\frac1{\sqrt3}\right)^{2-3x}<\frac19.$$

   Преобразуем всё к основанию $$3$$:

   $$3\cdot 3^{-\frac{2-3x}{2}}<3^{-2}.$$

   Тогда

   $$3^{1-\frac{2-3x}{2}}<3^{-2}.$$

   Так как $$3>1$$, сравниваем показатели:

   $$1-\frac{2-3x}{2}<-2,$$

   $$1-1+\frac{3x}{2}<-2,$$

   $$\frac{3x}{2}<-2,$$

   $$x<-\frac43.$$

4. $$4^{x^2+x-11}>5^{\log_5 4}.$$

   Так как $$5^{\log_5 4}=4,$$ получаем

   $$4^{x^2+x-11}>4^1.$$

   При основании $$4>1$$ имеем

   $$x^2+x-11>1,$$

   $$x^2+x-12>0,$$

   $$(x+4)(x-3)>0.$$

   Отсюда

   $$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Ответ

а) $$\left[-\frac92;\,+\infty\right)$$; б) $$(-2;\,1)$$; в) $$\left(-\infty;\,-\frac43\right)$$; г) $$(-\infty;\,-4)\cup(3;\,+\infty)$$.