Упр.168 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество $$a\sin x+b\cos x=A\sin(x+\varphi)$$, где $$\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad A=\sqrt{a^2+b^2}$$.

Пусть

$$A=\sqrt{a^2+b^2}, \qquad \cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Тогда

$$\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}=1,$$

значит, такой угол $$\varphi$$ существует.

Теперь преобразуем выражение:

$$A\sin(x+\varphi)=A(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi).$$

Подставим значения $$A$$, $$\cos\varphi$$ и $$\sin\varphi$$:

$$A\sin(x+\varphi)=\sqrt{a^2+b^2}\left(\sin x\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\cos x\cdot\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right).$$

Сокращая, получаем:

$$A\sin(x+\varphi)=a\sin x+b\cos x.$$

Следовательно,

$$a\sin x+b\cos x=A\sin(x+\varphi), \qquad A=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Ответ

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi),$$

где

$$\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$